Einführung Mathematische Modelle

Im Gegensatz zu den an spezifische Daten gebundenen statistischen Modellen versuchen mathematische Modelle eine Abstraktion der Daten über bestimmte Fälle hinweg, d.h. eine Generalisierung dieser. Dadurch erlauben sie Bildung allgemeiner Theorien (Gesetze), die für jeden Fall, jedes Individuum, also die gesamte Grundgesamtheit gültig sein sollen. Ein Beispiel dazu aus der Physik: sie können Messen, wie sich die Planeten des Sonnensystems bewegen und dann die Datenpunkte mit einer Kurvenfunktion für jeden Planeten „fitten“. Das wäre ein statistisches Modell, welches die Daten gut beschreibt. Jedoch unterscheidet es sich von Newtons Gravitationsgesetzen, aus welchen Sie im Prinzip die Bewegung eines beliebigen Planeten aufgrund der beschriebenen allgemeinen Wirkzusammenhänge ableiten können.

Beispiel für ein mathematisches Modell:

Ein einfaches Rescorla-Wagner-Modell, welches den Konditionierungsvorgang für einen Reiz beschreibt:

V(t) = V( t-1 ) + α( λ - V( t-1 ) )

V = Verknüpfung der Reize ( CS+US )

α = Lernrate

λ = Maximale Verknüpfungsstärke

t = Lerndurchgänge

Im Vergleich zu statistischen Modellen können auch mathematische Modellen mit existierende Daten quantitativ abgeglichen werden (fitten) und so die Beschreibungsgüte messbar gemacht werden. Mathematische Modelle haben sehr selten bzw. meist kein Eigenverhalten aufgrund ihres relativ einfachen Ablaufs. Das heißt, sie beschreiben nur und, im Gegensatz zu komputationale Modellen, handeln nicht, könnten also z.B. nicht in einen Roboter eingebaut werden, um das Modell praktisch zu testen. Manchmal überraschen sie, können also zu unerwarteten Schlüssen bzw. Vorhersagen führen, jedoch dank ihrer einfachen Struktur auch das seltener als komputationale Modelle.