Differentialgleichungsmodelle - Versionsgeschichte

Josefine am 17. Januar 2022 um 13:54 Uhr

2022-01-17T13:54:12Z

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	Mathematisch könnte man die Entwicklung der Population in einer exponentiellen Formel zusammenfassen:		Mathematisch könnte man die Entwicklung der Population in einer exponentiellen Formel zusammenfassen:

	[[File:Differential F2.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F2.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 2\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 2]]

	Wir können aber auch das Wachstum von Zeitpunkt zu Zeitpunkt beschreiben, wie wir es beobachtet haben. Dann könnten wir schreiben:		Wir können aber auch das Wachstum von Zeitpunkt zu Zeitpunkt beschreiben, wie wir es beobachtet haben. Dann könnten wir schreiben:

	[[File:Differential F3.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F3.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 3\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 3]]

	Von Zeitschritt zu Zeitschritt verdoppelt sich also die Population jeweils. Es könnte sein, dass eine andere Kolonie aber stärker oder schwächer wächst. Um das Modell zu verallgemeinern, können wir die Wachstumsrate, also die bisherige Verdoppelung, mit der Variablen α bezeichnen:		Von Zeitschritt zu Zeitschritt verdoppelt sich also die Population jeweils. Es könnte sein, dass eine andere Kolonie aber stärker oder schwächer wächst. Um das Modell zu verallgemeinern, können wir die Wachstumsrate, also die bisherige Verdoppelung, mit der Variablen α bezeichnen:

	[[File:Differential F4.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F4.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 4\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 4]]

	Bisher haben wir die Zeit in ganzzahligen Schritten „portioniert“. Wenn wir nun die Zeit in kleinere Schritte als 1 aufteilen, dann bezeichnen wir diese Schritte als ∆t. Machen wir diese Schritte immer kleiner, dann betrachten wir die Zeit als kontinuierlich. Mit dieser Veränderung ist der Bakterienzuwachs (über den Faktor α) in einem Zeitintervall ∆t proportional zur Länge dieses Zeitintervalls und der Größe der Population:		Bisher haben wir die Zeit in ganzzahligen Schritten „portioniert“. Wenn wir nun die Zeit in kleinere Schritte als 1 aufteilen, dann bezeichnen wir diese Schritte als ∆t. Machen wir diese Schritte immer kleiner, dann betrachten wir die Zeit als kontinuierlich. Mit dieser Veränderung ist der Bakterienzuwachs (über den Faktor α) in einem Zeitintervall ∆t proportional zur Länge dieses Zeitintervalls und der Größe der Population:

	[[File:Differential F5.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F5.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 5\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 5]]

	Diese Formel können wir umstellen, um auf der rechten Seite nur noch die Veränderung zu haben:		Diese Formel können wir umstellen, um auf der rechten Seite nur noch die Veränderung zu haben:

	[[File:Differential F6.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F6.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 6\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 6]]

	Auf der rechten Seite steht jetzt also nur noch, wie sich das System zu einem bestimmten Zeitpunkt verändert, während auf der linken Seite dieser Gleichung der Differenzquotient steht. Für kontinuierliche Zeit, also unendlich kleine Zeitschritte, betrachten wir den Grenzwert für ∆t gegen 0. Das ist nichts anderes als die erste Ableitung, also die Änderung der Population über die (kontinuierliche) Zeit. So erhalten wir die Differentialgleichung		Auf der rechten Seite steht jetzt also nur noch, wie sich das System zu einem bestimmten Zeitpunkt verändert, während auf der linken Seite dieser Gleichung der Differenzquotient steht. Für kontinuierliche Zeit, also unendlich kleine Zeitschritte, betrachten wir den Grenzwert für ∆t gegen 0. Das ist nichts anderes als die erste Ableitung, also die Änderung der Population über die (kontinuierliche) Zeit. So erhalten wir die Differentialgleichung

	[[File:Differential F7.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F7.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 7\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 7]]

	und damit		und damit

	[[File:Differential F8.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F8.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 8\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 8]]

	Differentialgleichungen kann man auch ausdrücken als eine Differenz ''d'' pro Zeiteinheit, in unserem Falle also die Differenz ''dp'' pro Zeiteinheit ''dt'':		Differentialgleichungen kann man auch ausdrücken als eine Differenz ''d'' pro Zeiteinheit, in unserem Falle also die Differenz ''dp'' pro Zeiteinheit ''dt'':

	[[File:Differential F9.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F9.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 9\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 9]]

	Dieser Ausdruck dient dazu, unendlich kleine Unterschiede in den Werten von p und t zu repräsentieren (=> das sogenannte Differential). Um unsere Differentialgleichung zu lösen, müssen wir eine Funktion ''„p(t) = …“'' finden, deren Ableitung unsere Differentialgleichung ergibt.		Dieser Ausdruck dient dazu, unendlich kleine Unterschiede in den Werten von p und t zu repräsentieren (=> das sogenannte Differential). Um unsere Differentialgleichung zu lösen, müssen wir eine Funktion ''„p(t) = …“'' finden, deren Ableitung unsere Differentialgleichung ergibt.
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	[[File:Differential F10.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F10.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 10\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 10]]

	[[File:Differential F11.png\|center\|600px]]		[[File:Differential F11.png\|center\|600px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 11\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 11]]

Josefine am 17. Januar 2022 um 13:52 Uhr

2022-01-17T13:52:02Z

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	Nehmen wir als einfaches Beispiel das exponentielle Wachstum einer Bakterienkolonie der Größe p=10 zum Startzeitpunkt t<sub>0</sub>. In einer (sehr künstlichen) hypothetischen Umwelt verdoppeln sich die Bakterien ohne zu sterben zu jedem Zeitschritt t:		Nehmen wir als einfaches Beispiel das exponentielle Wachstum einer Bakterienkolonie der Größe p=10 zum Startzeitpunkt t<sub>0</sub>. In einer (sehr künstlichen) hypothetischen Umwelt verdoppeln sich die Bakterien ohne zu sterben zu jedem Zeitschritt t:

	[[File:Differential F1.png\|center\|80px]]		[[File:Differential F1.png\|center\|80px\|link=Ausgelagerte Formeln#Differentialgleichungsmodelle 1\|Ausgelagerte Formel Differentialgleichungsmodelle 1]]

	Mathematisch könnte man die Entwicklung der Population in einer exponentiellen Formel zusammenfassen:		Mathematisch könnte man die Entwicklung der Population in einer exponentiellen Formel zusammenfassen:

Paul: /* Simulation */ Dynamisches System link einfügen pb

2021-12-20T16:18:33Z

Simulation: Dynamisches System link einfügen pb

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	Bei dieser Räuber-Beute Beziehung spricht man auch von einem '''dynamischen System''': man hat mehrere Größen, hier die Population der Hasen und Füchse, die sich gegenseitig beeinflussen (und somit ein System bilden) und so über die Zeit verändern (also dynamisch). Die Veränderungsmusster eines solchen Systems kann man auch in seinem sogenannten Zustandsraum betrachten – also eine Abbildung der Kombination der verschiedenen möglichen Werte, welche die beiden Populationen gleichzeitig annehmen können. Muster, die sich in dieser Darstellung als stabil herausstellen, nennt man Attraktoren oder Gleichgewichtszustände, da das System sozusagen von ihnen angezogen wird und sich in diesen Mustern stabil einfindet.		Bei dieser Räuber-Beute Beziehung spricht man auch von einem '''dynamischen System''': man hat mehrere Größen, hier die Population der Hasen und Füchse, die sich gegenseitig beeinflussen (und somit ein System bilden) und so über die Zeit verändern (also dynamisch). Die Veränderungsmusster eines solchen Systems kann man auch in seinem sogenannten Zustandsraum betrachten – also eine Abbildung der Kombination der verschiedenen möglichen Werte, welche die beiden Populationen gleichzeitig annehmen können. Muster, die sich in dieser Darstellung als stabil herausstellen, nennt man Attraktoren oder Gleichgewichtszustände, da das System sozusagen von ihnen angezogen wird und sich in diesen Mustern stabil einfindet.

	[[File:Differential HaseFuchs3.png\|center\|400px]]		[[File:Differential HaseFuchs3.png\|center\|400px\|link=Ausgelagerte_Bildbeschreibungen#Dynamisches_System\|Ausgelagerte Bildbeschreibung von Dynamisches System]]

	In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.		In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.

Paul: /* Simulation */ Hase Fuchs Simulation 2 link einfügen pb

2021-12-20T15:55:24Z

Simulation: Hase Fuchs Simulation 2 link einfügen pb

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	Simuliert man die Räuber-Beute-Dynamik über die Zeit, erhält man – sofern beide Populationen in einem ökologischen Gleichgewicht stehen (z.B. nicht zu viele Füchse oder Hasen am Anfang existieren) - folgenden Verlauf:		Simuliert man die Räuber-Beute-Dynamik über die Zeit, erhält man – sofern beide Populationen in einem ökologischen Gleichgewicht stehen (z.B. nicht zu viele Füchse oder Hasen am Anfang existieren) - folgenden Verlauf:

	[[File:Differential HaseFuchs2.png\|center\|400px]]		[[File:Differential HaseFuchs2.png\|center\|400px\|link=Ausgelagerte_Bildbeschreibungen#Hase_Fuchs_Simulation_2\|Ausgelagerte Bildbeschreibung von Hase Fuchs Simulation 2]]

Paul: Hase Fuchs Simulation 1 link einfügen pb

2021-12-20T15:19:27Z

Hase Fuchs Simulation 1 link einfügen pb

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	Die sehr zu empfehlende [ncase.me Webseite] des Grafikers Nicky Case bietet die Möglichkeit unterschiedliche Modelle nachzubauen, umzuformen und zu simulieren. Unter dem folgenden [https://bit.ly/2R01jyT Link] kann das oben beschriebene Räuber-Beute-Modell ausprobiert und verändert werden (z.B. durch Veränderung der Stärke der Knoten oder Menge der Pfeile). Das Modell sähe grafisch so aus:		Die sehr zu empfehlende [ncase.me Webseite] des Grafikers Nicky Case bietet die Möglichkeit unterschiedliche Modelle nachzubauen, umzuformen und zu simulieren. Unter dem folgenden [https://bit.ly/2R01jyT Link] kann das oben beschriebene Räuber-Beute-Modell ausprobiert und verändert werden (z.B. durch Veränderung der Stärke der Knoten oder Menge der Pfeile). Das Modell sähe grafisch so aus:

	[[File:Differential HaseFuchs1.png\|center\|500px]]		[[File:Differential HaseFuchs1.png\|center\|500px\|link=Ausgelagerte_Bildbeschreibungen#Hase_Fuchs_Simulation_1\|Ausgelagerte Bildbeschreibung von Hase Fuchs Simulation 1]]

Voegler: Änderungen von Voegler (Diskussion) wurden auf die letzte Version von Schäfer zurückgesetzt

2021-11-04T20:35:34Z

Änderungen von Voegler (Diskussion) wurden auf die letzte Version von Schäfer zurückgesetzt

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	In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.		In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.

	~~[[Ausgelagerte Bildbeschreibungen]]~~

Voegler: /* Simulation */

2021-11-04T20:32:04Z

Simulation

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	In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.		In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.

			[[Ausgelagerte Bildbeschreibungen]]

Schäfer am 10. Oktober 2018 um 12:54 Uhr

2018-10-10T12:54:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Oktober 2018, 14:54 Uhr
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	Die sehr zu empfehlende [ncase.me Webseite] des Grafikers Nicky Case bietet die Möglichkeit unterschiedliche Modelle nachzubauen, umzuformen und zu simulieren. Unter dem folgenden [https://bit.ly/2R01jyT Link] kann das oben beschriebene Räuber-Beute-Modell ausprobiert und verändert werden (z.B. durch Veränderung der Stärke der Knoten oder Menge der Pfeile). Das Modell sähe grafisch so aus:		Die sehr zu empfehlende [ncase.me Webseite] des Grafikers Nicky Case bietet die Möglichkeit unterschiedliche Modelle nachzubauen, umzuformen und zu simulieren. Unter dem folgenden [https://bit.ly/2R01jyT Link] kann das oben beschriebene Räuber-Beute-Modell ausprobiert und verändert werden (z.B. durch Veränderung der Stärke der Knoten oder Menge der Pfeile). Das Modell sähe grafisch so aus:

	[[File:Differential HaseFuchs1.png\|\|500px]]		[[File:Differential HaseFuchs1.png\|center\|500px]]


	Simuliert man die Räuber-Beute-Dynamik über die Zeit, erhält man – sofern beide Populationen in einem ökologischen Gleichgewicht stehen (z.B. nicht zu viele Füchse oder Hasen am Anfang existieren) - folgenden Verlauf:		Simuliert man die Räuber-Beute-Dynamik über die Zeit, erhält man – sofern beide Populationen in einem ökologischen Gleichgewicht stehen (z.B. nicht zu viele Füchse oder Hasen am Anfang existieren) - folgenden Verlauf:

	[[File:Differential HaseFuchs2.png\|\|400px]]		[[File:Differential HaseFuchs2.png\|center\|400px]]


	Bei dieser Räuber-Beute Beziehung spricht man auch von einem '''dynamischen System''': man hat mehrere Größen, hier die Population der Hasen und Füchse, die sich gegenseitig beeinflussen (und somit ein System bilden) und so über die Zeit verändern (also dynamisch). Die Veränderungsmusster eines solchen Systems kann man auch in seinem sogenannten Zustandsraum betrachten – also eine Abbildung der Kombination der verschiedenen möglichen Werte, welche die beiden Populationen gleichzeitig annehmen können. Muster, die sich in dieser Darstellung als stabil herausstellen, nennt man Attraktoren oder Gleichgewichtszustände, da das System sozusagen von ihnen angezogen wird und sich in diesen Mustern stabil einfindet.		Bei dieser Räuber-Beute Beziehung spricht man auch von einem '''dynamischen System''': man hat mehrere Größen, hier die Population der Hasen und Füchse, die sich gegenseitig beeinflussen (und somit ein System bilden) und so über die Zeit verändern (also dynamisch). Die Veränderungsmusster eines solchen Systems kann man auch in seinem sogenannten Zustandsraum betrachten – also eine Abbildung der Kombination der verschiedenen möglichen Werte, welche die beiden Populationen gleichzeitig annehmen können. Muster, die sich in dieser Darstellung als stabil herausstellen, nennt man Attraktoren oder Gleichgewichtszustände, da das System sozusagen von ihnen angezogen wird und sich in diesen Mustern stabil einfindet.

	[[File:Differential HaseFuchs3.png\|\|400px]]		[[File:Differential HaseFuchs3.png\|center\|400px]]

	In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.		In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.

Schäfer am 25. September 2018 um 15:59 Uhr

2018-09-25T15:59:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2018, 17:59 Uhr
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	[[File:Differential HaseFuchs1.png\|\|500px]]		[[File:Differential HaseFuchs1.png\|\|500px]]


	Simuliert man die Räuber-Beute-Dynamik über die Zeit, erhält man – sofern beide Populationen in einem ökologischen Gleichgewicht stehen (z.B. nicht zu viele Füchse oder Hasen am Anfang existieren) - folgenden Verlauf:		Simuliert man die Räuber-Beute-Dynamik über die Zeit, erhält man – sofern beide Populationen in einem ökologischen Gleichgewicht stehen (z.B. nicht zu viele Füchse oder Hasen am Anfang existieren) - folgenden Verlauf:

	[[File:Differential HaseFuchs2.png\|\|400px]]		[[File:Differential HaseFuchs2.png\|\|400px]]


	Bei dieser Räuber-Beute Beziehung spricht man auch von einem '''dynamischen System''': man hat mehrere Größen, hier die Population der Hasen und Füchse, die sich gegenseitig beeinflussen (und somit ein System bilden) und so über die Zeit verändern (also dynamisch). Die Veränderungsmusster eines solchen Systems kann man auch in seinem sogenannten Zustandsraum betrachten – also eine Abbildung der Kombination der verschiedenen möglichen Werte, welche die beiden Populationen gleichzeitig annehmen können. Muster, die sich in dieser Darstellung als stabil herausstellen, nennt man Attraktoren oder Gleichgewichtszustände, da das System sozusagen von ihnen angezogen wird und sich in diesen Mustern stabil einfindet.		Bei dieser Räuber-Beute Beziehung spricht man auch von einem '''dynamischen System''': man hat mehrere Größen, hier die Population der Hasen und Füchse, die sich gegenseitig beeinflussen (und somit ein System bilden) und so über die Zeit verändern (also dynamisch). Die Veränderungsmusster eines solchen Systems kann man auch in seinem sogenannten Zustandsraum betrachten – also eine Abbildung der Kombination der verschiedenen möglichen Werte, welche die beiden Populationen gleichzeitig annehmen können. Muster, die sich in dieser Darstellung als stabil herausstellen, nennt man Attraktoren oder Gleichgewichtszustände, da das System sozusagen von ihnen angezogen wird und sich in diesen Mustern stabil einfindet.
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	[[File:Differential HaseFuchs3.png\|\|400px]]		[[File:Differential HaseFuchs3.png\|\|400px]]

	In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.		In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel]] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.

Schäfer am 25. September 2018 um 15:58 Uhr

2018-09-25T15:58:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2018, 17:58 Uhr
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	Die sehr zu empfehlende [ncase.me Webseite] des Grafikers Nicky Case bietet die Möglichkeit unterschiedliche Modelle nachzubauen, umzuformen und zu simulieren. Unter dem folgenden [https://bit.ly/2R01jyT Link] kann das oben beschriebene Räuber-Beute-Modell ausprobiert und verändert werden (z.B. durch Veränderung der Stärke der Knoten oder Menge der Pfeile). Das Modell sähe grafisch so aus:		Die sehr zu empfehlende [ncase.me Webseite] des Grafikers Nicky Case bietet die Möglichkeit unterschiedliche Modelle nachzubauen, umzuformen und zu simulieren. Unter dem folgenden [https://bit.ly/2R01jyT Link] kann das oben beschriebene Räuber-Beute-Modell ausprobiert und verändert werden (z.B. durch Veränderung der Stärke der Knoten oder Menge der Pfeile). Das Modell sähe grafisch so aus:

	[[File:Differential HaseFuchs1.png\|\|~~600px~~]]		[[File:Differential HaseFuchs1.png\|\|500px]]

	Simuliert man die Räuber-Beute-Dynamik über die Zeit, erhält man – sofern beide Populationen in einem ökologischen Gleichgewicht stehen (z.B. nicht zu viele Füchse oder Hasen am Anfang existieren) - folgenden Verlauf:		Simuliert man die Räuber-Beute-Dynamik über die Zeit, erhält man – sofern beide Populationen in einem ökologischen Gleichgewicht stehen (z.B. nicht zu viele Füchse oder Hasen am Anfang existieren) - folgenden Verlauf:

	[[File:Differential HaseFuchs2.png\|\|~~600px~~]]		[[File:Differential HaseFuchs2.png\|\|400px]]

	Bei dieser Räuber-Beute Beziehung spricht man auch von einem '''dynamischen System''': man hat mehrere Größen, hier die Population der Hasen und Füchse, die sich gegenseitig beeinflussen (und somit ein System bilden) und so über die Zeit verändern (also dynamisch). Die Veränderungsmusster eines solchen Systems kann man auch in seinem sogenannten Zustandsraum betrachten – also eine Abbildung der Kombination der verschiedenen möglichen Werte, welche die beiden Populationen gleichzeitig annehmen können. Muster, die sich in dieser Darstellung als stabil herausstellen, nennt man Attraktoren oder Gleichgewichtszustände, da das System sozusagen von ihnen angezogen wird und sich in diesen Mustern stabil einfindet.		Bei dieser Räuber-Beute Beziehung spricht man auch von einem '''dynamischen System''': man hat mehrere Größen, hier die Population der Hasen und Füchse, die sich gegenseitig beeinflussen (und somit ein System bilden) und so über die Zeit verändern (also dynamisch). Die Veränderungsmusster eines solchen Systems kann man auch in seinem sogenannten Zustandsraum betrachten – also eine Abbildung der Kombination der verschiedenen möglichen Werte, welche die beiden Populationen gleichzeitig annehmen können. Muster, die sich in dieser Darstellung als stabil herausstellen, nennt man Attraktoren oder Gleichgewichtszustände, da das System sozusagen von ihnen angezogen wird und sich in diesen Mustern stabil einfindet.

	[[File:Differential HaseFuchs3.png\|\|~~600px~~]]		[[File:Differential HaseFuchs3.png\|\|400px]]

	In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.		In diesem Fall ist dieser Gleichgewichtszustand ein zyklisches Wechseln zwischen einer Mehrheit an Hasen oder Füchsen. Wodurch sich solche dynamischen Systeme charakterisieren und was ein Attraktor ist, erklärt der folgende [[Dynamische Attraktormodelle\|Artikel] mit Beispielen aus der kognitionspsychologischen Forschung ausführlicher.