General Linear Model - Versionsgeschichte

Josefine am 10. Dezember 2021 um 14:52 Uhr

2021-12-10T14:52:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Dezember 2021, 16:52 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:
	Daraus folgt:		Daraus folgt:

	:::: [[Datei:GLM_19.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#General Linear ~~Modell~~ 4\|Ausgelagerte Formel GLM 4]]		:::: [[Datei:GLM_19.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#General Linear Model 4\|Ausgelagerte Formel GLM 4]]

Josefine am 10. Dezember 2021 um 14:34 Uhr

2021-12-10T14:34:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Dezember 2021, 16:34 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:


	:: [[Datei:GLM_22.PNG]]		:: [[Datei:GLM_22.PNG\|link=Ausgelagerte_Formeln#t-Test als Spezialfall des GLM\|Ausgelagerte Formel t-Test Modell]]


Zeile 57:		Zeile 57:


	:: Prüfgröße [[Datei:GLM_12.png]]		:: Prüfgröße [[Datei:GLM_12.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#Prüfgröße t\|Ausgelagerte Formel Prüfgröße t]]


	:: [[Datei:GLM_23.PNG]]		:: [[Datei:GLM_23.PNG\|Das Bild ist Bestandteil der vorhergehenden Formel und wurde bereits dort beschrieben]]


Zeile 87:		Zeile 87:
	Daraus folgt:		Daraus folgt:

	:::: [[Datei:GLM_19.png]]		:::: [[Datei:GLM_19.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#General Linear Modell 4\|Ausgelagerte Formel GLM 4]]

Josefine: alternativtexte

2021-12-10T14:26:15Z

alternativtexte

← Nächstältere Version		Version vom 10. Dezember 2021, 16:26 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:

	::::{\|		::::{\|
	\| [[Datei:GLM_16.png]]		\| [[Datei:GLM_16.png\|$b_0=x_1$]]
	\|		\|
	\|		\|
	\|-		\|-
	\| [[Datei:GLM_17.png]]		\| [[Datei:GLM_17.png\|$x=g$]]
	\|		\|
	\| - Prädiktorvariable mit zwei Ausprägungen - bildet '''''Gruppenzugehörigkeit''''' ab		\| - Prädiktorvariable mit zwei Ausprägungen - bildet '''''Gruppenzugehörigkeit''''' ab
	\|-		\|-
	\| [[Datei:GLM_18.png]]		\| [[Datei:GLM_18.png\|$b_1=\Delta(x_1x_2)$]]
	\|		\|
	\| - Differenz der Gruppenmittelwerte		\| - Differenz der Gruppenmittelwerte

Josefine am 10. Dezember 2021 um 09:12 Uhr

2021-12-10T09:12:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Dezember 2021, 11:12 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:


	:: [[Datei:GLM_3.png]]		:: [[Datei:GLM_3.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#General Linear Model 3\|Ausgelagerte Formel General Linear Model 3]]


	:: [[Datei:GLM_20.PNG]]		:: [[Datei:GLM_20.PNG\|Das Bild ist Bestandteil der vorhergehenden Formel und wurde bereits dort beschrieben]]

Josefine am 9. Dezember 2021 um 15:13 Uhr

2021-12-09T15:13:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2021, 17:13 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:


	Sofern die Inverse von [[Datei:GLM_21.png]] existiert, kann diese Gleichung immer gelöst werden.		Sofern die Inverse von [[Datei:GLM_21.png\|$X^{T} \cdot X$]] existiert, kann diese Gleichung immer gelöst werden.

	Ein Vergleich der beobachteten Daten und der Linearkombination aller verwendeten Prädiktoren ermöglicht die Einschätzung der Güte des linearen Zusammenhangs. Dazu verwendet man üblicherweise das Bestimmtheitsmaß R², welches den Anteil der Variabilität im Modell angibt, der durch die ausgewählten Prädiktoren erklärt werden kann. Bei mehreren Prädiktoren wird dabei oft eine korrigierte Form des Bestimmtheitsmaßes gewählt, welche die Anzahl der Prädiktoren bestrafend mit verrechnet.		Ein Vergleich der beobachteten Daten und der Linearkombination aller verwendeten Prädiktoren ermöglicht die Einschätzung der Güte des linearen Zusammenhangs. Dazu verwendet man üblicherweise das Bestimmtheitsmaß R², welches den Anteil der Variabilität im Modell angibt, der durch die ausgewählten Prädiktoren erklärt werden kann. Bei mehreren Prädiktoren wird dabei oft eine korrigierte Form des Bestimmtheitsmaßes gewählt, welche die Anzahl der Prädiktoren bestrafend mit verrechnet.

Josefine am 9. Dezember 2021 um 15:11 Uhr

2021-12-09T15:11:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2021, 17:11 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:


	:: [[Datei:GLM_2.png#General Linear Model 2\|Ausgelagerte Formel General Linear Model 2]]		:: [[Datei:GLM_2.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#General Linear Model 2\|Ausgelagerte Formel General Linear Model 2]]

Josefine am 9. Dezember 2021 um 15:08 Uhr

2021-12-09T15:08:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2021, 17:08 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:


	:: [[Datei:GLM_1.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#General Linear Model\|Ausgelagerte Formel General Linear Model]]		:: [[Datei:GLM_1.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#General Linear Model 1\|Ausgelagerte Formel General Linear Model 1]]


Zeile 22:		Zeile 22:


	:: [[Datei:GLM_2.png]]		:: [[Datei:GLM_2.png#General Linear Model 2\|Ausgelagerte Formel General Linear Model 2]]

Josefine am 14. November 2021 um 17:42 Uhr

2021-11-14T17:42:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. November 2021, 19:42 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:


	:: [[Datei:GLM_1.png]]		:: [[Datei:GLM_1.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#General Linear Model\|Ausgelagerte Formel General Linear Model]]

Wehner am 27. August 2018 um 09:35 Uhr

2018-08-27T09:35:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2018, 11:35 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Nav\|Navigation\|Kognitive Modellierung\|Hauptseite}}		{{Nav\|Navigation\|Statistische Modelle\|Kognitive Modellierung\|Hauptseite}}
	Das General Linear Model (dt. Allgemeines Lineares Modell, ALM) ist ein grundlegendes Modell der Statistik, auf welchem eine Vielzahl häufig eingesetzter Verfahren, wie z.B. die Varianzanalyse, die Regressionsanalyse und viele weitere Verfahren basieren. Sie alle stellen Spezialfälle des GLM dar.		Das General Linear Model (dt. Allgemeines Lineares Modell, ALM) ist ein grundlegendes Modell der Statistik, auf welchem eine Vielzahl häufig eingesetzter Verfahren, wie z.B. die Varianzanalyse, die Regressionsanalyse und viele weitere Verfahren basieren. Sie alle stellen Spezialfälle des GLM dar.

Wehner am 26. August 2018 um 12:35 Uhr

2018-08-26T12:35:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. August 2018, 14:35 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:

	Formal lässt sich das GLM durch die folgende Gleichung beschreiben:		Formal lässt sich das GLM durch die folgende Gleichung beschreiben:


	:: [[Datei:GLM_1.png]]		:: [[Datei:GLM_1.png]]


	:: Y... Vektor der Kriteriumsvariablen		:: Y... Vektor der Kriteriumsvariablen
Zeile 15:		Zeile 17:

	:: e... Vektor der Residuen		:: e... Vektor der Residuen


	Die gleichzeitige Betrachtung der Werte mehrerer Beobachtungseinheiten (z.B. Individuen) führt zu einem linearen Gleichungssystem, welches mit Hilfe eines Minimierungsprinzips (dem Prinzip der Kleinsten Quadrate) die Schätzung der gesuchten Prädiktorgewichte b ermöglicht. Die Modellparameter werden dabei so gewählt, dass die Summe der quadrierten Fehler (= Abweichungen der beobachteten Y-Werte von den durch das Modell vorhergesagten Kriteriumswerten Xb) ein Minimum erreicht:		Die gleichzeitige Betrachtung der Werte mehrerer Beobachtungseinheiten (z.B. Individuen) führt zu einem linearen Gleichungssystem, welches mit Hilfe eines Minimierungsprinzips (dem Prinzip der Kleinsten Quadrate) die Schätzung der gesuchten Prädiktorgewichte b ermöglicht. Die Modellparameter werden dabei so gewählt, dass die Summe der quadrierten Fehler (= Abweichungen der beobachteten Y-Werte von den durch das Modell vorhergesagten Kriteriumswerten Xb) ein Minimum erreicht:


	:: [[Datei:GLM_2.png]]		:: [[Datei:GLM_2.png]]


	:: n... Anzahl an Individuen		:: n... Anzahl an Individuen
Zeile 25:		Zeile 30:
	Als beste Schätzung für b erhält man durch Formelumstellung:		Als beste Schätzung für b erhält man durch Formelumstellung:

	:: [[Datei:GLM_3.png]]
			:: [[Datei:GLM_3.png]]


	:: [[Datei:GLM_20.PNG]]		:: [[Datei:GLM_20.PNG]]
Zeile 40:		Zeile 47:

	Das GLM stellt das übergeordnete Modell des t-Test dar. Es prüft z.B. den linearen Einfluss einer Prädiktorvariable auf eine Kriteriumsvariable mithilfe der folgenden Formel:		Das GLM stellt das übergeordnete Modell des t-Test dar. Es prüft z.B. den linearen Einfluss einer Prädiktorvariable auf eine Kriteriumsvariable mithilfe der folgenden Formel:


	:: [[Datei:GLM_22.PNG]]		:: [[Datei:GLM_22.PNG]]


	Einen speziellen Fall stellt der Vergleich zweier Gruppen dar. Dieser Gruppenvergleich erfolgt üblicherweise mittels eines t-Tests. Dieser stellt die Frage, ob der Unterschied zwischen zwei Gruppen bedeutsam ist. Die Gruppenzugehörigkeit kann dabei als Prädiktor für die untersuchte Kriteriumsvariable, welche zwischen beiden Gruppen verglichen werden soll, betrachtet werden.		Einen speziellen Fall stellt der Vergleich zweier Gruppen dar. Dieser Gruppenvergleich erfolgt üblicherweise mittels eines t-Tests. Dieser stellt die Frage, ob der Unterschied zwischen zwei Gruppen bedeutsam ist. Die Gruppenzugehörigkeit kann dabei als Prädiktor für die untersuchte Kriteriumsvariable, welche zwischen beiden Gruppen verglichen werden soll, betrachtet werden.

	Die Prüfgröße des t-Test wird dabei folgendermaßen ermittelt:		Die Prüfgröße des t-Test wird dabei folgendermaßen ermittelt:


	:: Prüfgröße [[Datei:GLM_12.png]]		:: Prüfgröße [[Datei:GLM_12.png]]


	:: [[Datei:GLM_23.PNG]]		:: [[Datei:GLM_23.PNG]]


	Es fließen somit die Mittelwerte beider Gruppen in die Berechnung der Prüfgröße ein. Diese Mittelwertdifferenz kann auch in der Formel des GLM abgebildet werden.		Es fließen somit die Mittelwerte beider Gruppen in die Berechnung der Prüfgröße ein. Diese Mittelwertdifferenz kann auch in der Formel des GLM abgebildet werden.

	Die Verwendung der Formel des GLM würde wie folgt aussehen:		Die Verwendung der Formel des GLM würde wie folgt aussehen:


	Es gilt:		Es gilt:
	::{\|
			::::{\|
	\| [[Datei:GLM_16.png]]		\| [[Datei:GLM_16.png]]
	\|		\|
Zeile 69:		Zeile 83:
	\| - Differenz der Gruppenmittelwerte		\| - Differenz der Gruppenmittelwerte
	\|}		\|}


	Daraus folgt:		Daraus folgt:
	~~:: [[Datei:GLM_19.png]] mit~~

	::::g = 0 für Mittelwert der Gruppe 1 ~~und~~		:::: [[Datei:GLM_19.png]]


			:::::mit g = 0 für Mittelwert der Gruppe 1

	::::g = 1 für Mittelwert der Gruppe 2		:::::und g = 1 für Mittelwert der Gruppe 2