Komplexe Zahlen - Versionsgeschichte

Gundula am 19. August 2024 um 12:40 Uhr

2024-08-19T12:40:25Z

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Zeile 4:		Zeile 4:
	Wenn man komplexe Zahlen als Vektoren auffasst, lassen sie sich nicht nur durch ihre Koordinaten ausdrücken, sondern auch über ihren Betrag, also ihren Abstand zum Nullpunkt, und ihren Winkel zur positiven reellen Zahlenachse (gegen den Uhrzeigersinn). Dieser Winkel wird auch das Argument der komplexen Zahl genannt.		Wenn man komplexe Zahlen als Vektoren auffasst, lassen sie sich nicht nur durch ihre Koordinaten ausdrücken, sondern auch über ihren Betrag, also ihren Abstand zum Nullpunkt, und ihren Winkel zur positiven reellen Zahlenachse (gegen den Uhrzeigersinn). Dieser Winkel wird auch das Argument der komplexen Zahl genannt.

	[[Datei:KomplexeZahlenebene.~~png~~\|500px\|zentriert]]		[[Datei:KomplexeZahlenebene.PNG\|500px\|zentriert]]

	''z'' sei eine beliebige komplexe Zahl. Dabei gilt:		''z'' sei eine beliebige komplexe Zahl. Dabei gilt:

Gundula am 19. August 2024 um 12:39 Uhr

2024-08-19T12:39:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 14:39 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und bestehen aus einem realen und einem imaginären Anteil. Sie haben die Form ''a''+''bi'', wobei a der reale Teil und ''b'' der imaginäre Teil ist und i die imaginäre Einheit ist mit der Eigenschaft <math>i^{2} = -1</math>. Visuell kann man sich komplexe Zahlen als Vektoren auf der komplexen Zahlenebene vorstellen . Nebenbei bemerkt kann man jede Zahl als Vektor auf der Zahlenebene auffassen, nur dass Zahlen ohne imaginären Anteil Vektoren entlang der reellen Zahlenachse sind.		Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und bestehen aus einem realen und einem imaginären Anteil. Sie haben die Form ''a''+''bi'', wobei a der reale Teil und ''b'' der imaginäre Teil ist und i die imaginäre Einheit ist mit der Eigenschaft <math>i^{2} = -1</math>. Visuell kann man sich komplexe Zahlen als Vektoren auf der komplexen Zahlenebene vorstellen . Nebenbei bemerkt kann man jede Zahl als Vektor auf der Zahlenebene auffassen, nur dass Zahlen ohne imaginären Anteil Vektoren entlang der reellen Zahlenachse sind.
	Wenn man komplexe Zahlen als Vektoren auffasst, lassen sie sich nicht nur durch ihre Koordinaten ausdrücken, sondern auch über ihren Betrag, also ihren Abstand zum Nullpunkt, und ihren Winkel zur positiven reellen Zahlenachse (gegen den Uhrzeigersinn). Dieser Winkel wird auch das Argument der komplexen Zahl genannt.		Wenn man komplexe Zahlen als Vektoren auffasst, lassen sie sich nicht nur durch ihre Koordinaten ausdrücken, sondern auch über ihren Betrag, also ihren Abstand zum Nullpunkt, und ihren Winkel zur positiven reellen Zahlenachse (gegen den Uhrzeigersinn). Dieser Winkel wird auch das Argument der komplexen Zahl genannt.

			[[Datei:KomplexeZahlenebene.png\|500px\|zentriert]]

	''z'' sei eine beliebige komplexe Zahl. Dabei gilt:		''z'' sei eine beliebige komplexe Zahl. Dabei gilt:

Gundula am 19. August 2024 um 12:35 Uhr

2024-08-19T12:35:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 14:35 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und bestehen aus einem realen und einem imaginären Anteil. Sie haben die Form ''a''+''bi'', wobei a der reale Teil und ''b'' der imaginäre Teil ist und i die imaginäre Einheit ist mit der Eigenschaft <math>i^{2} = -1</math>. Visuell kann man sich komplexe Zahlen als Vektoren auf der komplexen Zahlenebene vorstellen . Nebenbei bemerkt kann man jede Zahl als Vektor auf der Zahlenebene auffassen, nur dass Zahlen ohne imaginären Anteil Vektoren entlang der reellen Zahlenachse sind.		Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und bestehen aus einem realen und einem imaginären Anteil. Sie haben die Form ''a''+''bi'', wobei a der reale Teil und ''b'' der imaginäre Teil ist und i die imaginäre Einheit ist mit der Eigenschaft <math>i^{2} = -1</math>. Visuell kann man sich komplexe Zahlen als Vektoren auf der komplexen Zahlenebene vorstellen . Nebenbei bemerkt kann man jede Zahl als Vektor auf der Zahlenebene auffassen, nur dass Zahlen ohne imaginären Anteil Vektoren entlang der reellen Zahlenachse sind.
	Wenn man komplexe Zahlen als Vektoren auffasst, lassen sie sich nicht nur durch ihre Koordinaten ausdrücken, sondern auch über ihren Betrag, also ihren Abstand zum Nullpunkt, und ihren Winkel zur positiven reellen Zahlenachse (im Uhrzeigersinn). Dieser Winkel wird auch das Argument der komplexen Zahl genannt.		Wenn man komplexe Zahlen als Vektoren auffasst, lassen sie sich nicht nur durch ihre Koordinaten ausdrücken, sondern auch über ihren Betrag, also ihren Abstand zum Nullpunkt, und ihren Winkel zur positiven reellen Zahlenachse (gegen den Uhrzeigersinn). Dieser Winkel wird auch das Argument der komplexen Zahl genannt.

	''z'' sei eine beliebige komplexe Zahl. Dabei gilt:		''z'' sei eine beliebige komplexe Zahl. Dabei gilt:

Gundula am 19. August 2024 um 11:57 Uhr

2024-08-19T11:57:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 13:57 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	==Potenzen von ''i''==		==Potenzen von ''i''==

	Potenzen von ''i'' verhalten sich wie folgt:		Potenzen von ''i'' verhalten sich wie folgt: <br>
	<math>i^{1} = i; i^{2} = -1; i^{3} = -i; i^{4} = 1</math>		<math>i^{1} = i</math> <br>
			<math>i^{2} = -1</math> <br>
			<math>i^{3} = -i</math> <br>
			<math>i^{4} = 1</math> <br>

	==Komplexe Exponentialfunktion==		==Komplexe Exponentialfunktion==

Gundula am 19. August 2024 um 11:56 Uhr

2024-08-19T11:56:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 13:56 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:

	Die komplexe Exponentialfunktion, auch Eulersche Formel, ist definiert als:		Die komplexe Exponentialfunktion, auch Eulersche Formel, ist definiert als:
	<math>e^{ix} = cos(x) + i ⋅ sin(x)</math>		<math>e^{ix} = cos(x) + i \cdot sin(x)</math>

	Die komplexe Exponentialfunktion ist auch wichtig für die Darstellung von periodischen Funktionen durch die Fourierreihe. Durch die Verwendung von komplexen Exponentialfunktionen können trigonometrische Reihen in kompakterer Form dargestellt werden.		Die komplexe Exponentialfunktion ist auch wichtig für die Darstellung von periodischen Funktionen durch die Fourierreihe. Durch die Verwendung von komplexen Exponentialfunktionen können trigonometrische Reihen in kompakterer Form dargestellt werden.
Zeile 75:		Zeile 75:

	<math>f(z) = u(r \cdot cos(\Theta),r \cdot sin(\Theta)) + i \cdot v \cdot (rcos(\Theta), r \cdot sin(\Theta))</math>		<math>f(z) = u(r \cdot cos(\Theta),r \cdot sin(\Theta)) + i \cdot v \cdot (rcos(\Theta), r \cdot sin(\Theta))</math>


	Auch die komplexe Funktion ''f(z)'' besteht aus einem Realteil (''u'') und einem Imaginärteil (''v''). ''x'' und ''y'' werden in der trigonometrischen Form durch <math>r \cdot cos(\Theta)</math> und <math>r \cdot sin(\Theta)</math> ersetzt. ''r'' ist dabei der Betrag der komplexen Zahl und Theta (<math>\Theta</math>) ihr Argument (s. oben).		Auch die komplexe Funktion ''f(z)'' besteht aus einem Realteil (''u'') und einem Imaginärteil (''v''). ''x'' und ''y'' werden in der trigonometrischen Form durch <math>r \cdot cos(\Theta)</math> und <math>r \cdot sin(\Theta)</math> ersetzt. ''r'' ist dabei der Betrag der komplexen Zahl und Theta (<math>\Theta</math>) ihr Argument (s. oben).

Gundula am 19. August 2024 um 11:48 Uhr

2024-08-19T11:48:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 13:48 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	Trigonometrische Form:		Trigonometrische Form:

	<math>f(z) = u(r \cdot cos(\Theta),r \cdot sin(\Theta)) + i \cdot v \cdot (rcos(\Theta), r \cdot sin(\Theta))</math)		<math>f(z) = u(r \cdot cos(\Theta),r \cdot sin(\Theta)) + i \cdot v \cdot (rcos(\Theta), r \cdot sin(\Theta))</math>
	~~<math>f(z) = u(rcos(\Theta),rsin(\Theta)) + iv(rcos(θ),rsin(\Theta))</math>~~

	Auch die komplexe Funktion ''f(z)'' besteht aus einem Realteil (''u'') und einem Imaginärteil (''v''). ''x'' und ''y'' werden in der trigonometrischen Form durch <math>r \cdot cos(\Theta)</math> und <math>r \cdot sin(\Theta)</math> ersetzt. ''r'' ist dabei der Betrag der komplexen Zahl und Theta (<math>\Theta</math>) ihr Argument (s. oben).		Auch die komplexe Funktion ''f(z)'' besteht aus einem Realteil (''u'') und einem Imaginärteil (''v''). ''x'' und ''y'' werden in der trigonometrischen Form durch <math>r \cdot cos(\Theta)</math> und <math>r \cdot sin(\Theta)</math> ersetzt. ''r'' ist dabei der Betrag der komplexen Zahl und Theta (<math>\Theta</math>) ihr Argument (s. oben).

Gundula am 19. August 2024 um 11:41 Uhr

2024-08-19T11:41:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 13:41 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	<math>z = a \cdot bi </math>		<math>z = a \cdot bi </math>

	Betrag: <math>r = \mid z \mid = \sqrt{a^{2}+b^{2}}</math>		Betrag: <math>r = \mid z \mid = \sqrt{a^{2}+b^{2}}</math> (s. unten)
	Argument: <math>arg(z) = \Theta = arctan(\frac{b}{a})</math>		Argument: <math>arg(z) = \Theta = arctan(\frac{b}{a})</math>

Zeile 59:		Zeile 59:

	Potenzen von ''i'' verhalten sich wie folgt:		Potenzen von ''i'' verhalten sich wie folgt:
	<math>i^{1} = i, i^{2} = ~~−1,~~ i^{3} = ~~−i,~~ i^{4} = 1</math>		<math>i^{1} = i; i^{2} = -1; i^{3} = -i; i^{4} = 1</math>

	==Komplexe Exponentialfunktion==		==Komplexe Exponentialfunktion==
Zeile 70:		Zeile 70:
	=Komplexe Funktionen=		=Komplexe Funktionen=

	<math>f(z)= u(x,y) + iv(x,y)</math>		<math>f(z) = u(x,y) + iv(x,y)</math>

	Trigonometrische Form:		Trigonometrische Form:

			<math>f(z) = u(r \cdot cos(\Theta),r \cdot sin(\Theta)) + i \cdot v \cdot (rcos(\Theta), r \cdot sin(\Theta))</math)
	<math>f(z) = u(rcos(\Theta),rsin(\Theta)) + iv(rcos(θ),rsin(\Theta))</math>		<math>f(z) = u(rcos(\Theta),rsin(\Theta)) + iv(rcos(θ),rsin(\Theta))</math>

	Auch die komplexe Funktion ''f(z)'' besteht aus einem Realteil (''u'') und einem Imaginärteil (''v''). ''x'' und ''y'' werden in der trigonometrischen Form durch <math>~~rcos~~(\Theta)</math> und <math>~~rsin~~(\Theta)</math> ersetzt.		Auch die komplexe Funktion ''f(z)'' besteht aus einem Realteil (''u'') und einem Imaginärteil (''v''). ''x'' und ''y'' werden in der trigonometrischen Form durch <math>r \cdot cos(\Theta)</math> und <math>r \cdot sin(\Theta)</math> ersetzt. ''r'' ist dabei der Betrag der komplexen Zahl und Theta (<math>\Theta</math>) ihr Argument (s. oben).

Gundula am 19. August 2024 um 11:35 Uhr

2024-08-19T11:35:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 13:35 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:
	<math>\|z\| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}</math>		<math>\|z\| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}</math>

	==Potenzen von i==		==Potenzen von ''i''==

			Potenzen von ''i'' verhalten sich wie folgt:
	<math>i^{1} = i, i^{2} = −1, i^{3} = −i, i^{4} = 1</math>		<math>i^{1} = i, i^{2} = −1, i^{3} = −i, i^{4} = 1</math>

	==Komplexe Exponentialfunktion==		==Komplexe Exponentialfunktion==

	Die komplexe Exponentialfunktion, auch Eulersche Formel, ist definiert als:		Die komplexe Exponentialfunktion, auch Eulersche Formel, ist definiert als:
	<math>e^{ix} = cos(x) + i ⋅ sin(x)</math>		<math>e^{ix} = cos(x) + i ⋅ sin(x)</math>

Gundula am 19. August 2024 um 11:02 Uhr

2024-08-19T11:02:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 13:02 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:

	==Betrag einer komplexen Zahl==		==Betrag einer komplexen Zahl==
	~~Der~~ Betrag \|z\| einer komplexen Zahl <math>z = a+bi</math> ~~ist~~:
	<math>\|z\| = \sqrt{ + b^{2}}</math>		Da komplexe Zahlen als Vektoren in der komplexen Zahlenebene anzusehen sind, kann man ihren Betrag (Länge des Vektors) mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dabei werden der Real- und der Imaginärteil als Katheten und der Betrag als Hypothenuse betrachtet. Dementsprechend berechnet sich der Betrag \|z\| einer komplexen Zahl <math>z = a+bi</math> wie folgt:
	~~∣z∣=a2+b2~~		<math>\|z\| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}</math>

	==Potenzen von i==		==Potenzen von i==

Gundula am 19. August 2024 um 09:54 Uhr

2024-08-19T09:54:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2024, 11:54 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	<math>(a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bci + bdi^{2}</math>		<math>(a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bci + bdi^{2}</math>

	~~Da <math>i^{2} = −1</math>,~~ wird <math>i^{2}</math> durch −1 ersetzt:		Dann wird <math>i^{2}</math> durch −1 ersetzt:
	<math>(a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bci + bd \cdot -1</math>		<math>(a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bci + bd \cdot -1</math>

Zeile 42:		Zeile 42:
	In der trigonometrischen Form:		In der trigonometrischen Form:

	<math>z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot (cos(\Theta 1 + \Theta 2) + i\~~cdotsin~~(\Theta 1 + \Theta 2))</math>		<math>z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot (cos(\Theta 1 + \Theta 2) + i \cdot sin(\Theta 1 + \Theta 2))</math>

	==Division==		==Division==