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Lineare Algebra - Versionsgeschichte
2026-05-16T16:25:53Z
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Gundula am 28. August 2024 um 13:05 Uhr
2024-08-28T13:05:05Z
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<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektoren, Vektorräumen, Transformationen und Matrizen. Diese und weitere Begriffe und das Rechnen mit Matrizen werden unten erklärt. Eine Einführung in die lineare Algebra mit visuellen Erklärungen geben auch <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Three Blue One Brown </del>in einer [https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab Videoreihe auf YouTube] (Stand August 2024).</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektoren, Vektorräumen, Transformationen und Matrizen. Diese und weitere Begriffe und das Rechnen mit Matrizen werden unten erklärt. Eine Einführung in die lineare Algebra mit visuellen Erklärungen geben auch <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">3Blue1Brown </ins>in einer [https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab Videoreihe auf YouTube] (Stand August 2024).</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
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Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6189&oldid=prev
Gundula am 28. August 2024 um 12:31 Uhr
2024-08-28T12:31:22Z
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 28. August 2024, 14:31 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">Zeile 1:</td>
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<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektoren, Vektorräumen, Transformationen und Matrizen. Diese und weitere Begriffe und das Rechnen mit Matrizen werden unten erklärt.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektoren, Vektorräumen, Transformationen und Matrizen. Diese und weitere Begriffe und das Rechnen mit Matrizen werden unten erklärt<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. Eine Einführung in die lineare Algebra mit visuellen Erklärungen geben auch Three Blue One Brown in einer [https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab Videoreihe auf YouTube] (Stand August 2024)</ins>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
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Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6155&oldid=prev
Gundula am 28. August 2024 um 08:27 Uhr
2024-08-28T08:27:40Z
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</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">Zeile 1:</td>
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<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektoren, Vektorräumen, Transformationen und Matrizen. Diese und weitere Begriffe und das Rechnen mit Matrizen <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">wird </del>unten erklärt.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektoren, Vektorräumen, Transformationen und Matrizen. Diese und weitere Begriffe und das Rechnen mit Matrizen <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">werden </ins>unten erklärt.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=Grundbegriffe=</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=Grundbegriffe=</div></td></tr>
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Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6154&oldid=prev
Gundula am 28. August 2024 um 08:26 Uhr
2024-08-28T08:26:33Z
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 28. August 2024, 10:26 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l99">Zeile 99:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 99:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Spur==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Spur==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente. Z.B. <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ist </del>die Spur der Matrix <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix}</math> <math>Spur(A) = 2 + 3 + 7 = 12</math></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente. Z.B. <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">berechnet sich </ins>die Spur der Matrix <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix}</math> <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">wie folgt: </ins><math>Spur(A) = 2 + 3 + 7 = 12</math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Eigenvektor==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Eigenvektor==</div></td></tr>
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Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6153&oldid=prev
Gundula am 28. August 2024 um 08:25 Uhr
2024-08-28T08:25:39Z
<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 28. August 2024, 10:25 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l94">Zeile 94:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 94:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Einheitsmatrix==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Einheitsmatrix==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Diagonalelemente 1 und alle anderen Elemente 0 sind.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Diagonalelemente 1 und alle anderen Elemente 0 sind<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, z</ins>.<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">B. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math>\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ = 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Spur==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Spur==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente. <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Z.B. ist die Spur der Matrix <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix}</math> <math>Spur(A) = 2 + 3 + 7 = 12</math></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
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Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6152&oldid=prev
Gundula am 28. August 2024 um 08:20 Uhr
2024-08-28T08:20:49Z
<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 28. August 2024, 10:20 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l67">Zeile 67:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 67:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Transposition==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Transposition==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Transposition einer Matrix wird durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten erreicht. Wenn <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">AA </del>eine Matrix ist, ist ihre transponierte Matrix <math>A^{T}</math>.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Transposition einer Matrix wird durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten erreicht. Wenn <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math>A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{bmatrix}</math> </ins>eine Matrix ist, ist ihre transponierte Matrix <math>A^{T<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">} = \begin{bmatrix} a & c & e \\ b & d & f\end{bmatrix</ins>}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Determinante==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Determinante==</div></td></tr>
</table>
Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6151&oldid=prev
Gundula am 28. August 2024 um 08:16 Uhr
2024-08-28T08:16:06Z
<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 28. August 2024, 10:16 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l71">Zeile 71:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 71:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Determinante==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Determinante==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Determinante einer quadratischen Matrix ist eine spezielle Zahl, die <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">oft </del>zur Beurteilung der Invertierbarkeit der Matrix verwendet wird. Für eine 2x2-Matrix <math>A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math> ist die Determinante definiert als das Produkt der Diagonalelemente abzüglich des Produkts der Nebendiagonalelemente: <math>det(A) = a \cdot d - b \cdot c</math> <br></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Determinante einer quadratischen Matrix ist eine spezielle Zahl, die zur Beurteilung der Invertierbarkeit der Matrix verwendet wird. Für eine 2x2-Matrix <math>A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math> ist die Determinante definiert als das Produkt der Diagonalelemente abzüglich des Produkts der Nebendiagonalelemente: <math>det(A) = a \cdot d - b \cdot c</math> <br></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für eine 3x3-Matrix ist die Determinante die Summe der Produkte der Elemente der ersten Zeile mit ihren Kofaktoren: <math>det(<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">A</del>) = a \cdot cof(a) + b \cdot cof(b) + c \cdot cof(c)</math></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für eine 3x3-Matrix <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math>B = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}</math> </ins>ist die Determinante die Summe der Produkte der Elemente der ersten Zeile mit ihren Kofaktoren: <math>det(<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">B</ins>) = a \cdot cof(a) + b \cdot cof(b) + c \cdot cof(c)</math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Kofaktor eines Elements ist das Vorzeichen der Unterdeterminante<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, </del>die sich ergibt, wenn die Zeile und Spalte dieses Elements entfernt werden.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Kofaktor eines Elements ist das Vorzeichen der Unterdeterminante <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">- die Determinante der Matrix </ins>die sich ergibt, wenn die Zeile und Spalte dieses Elements entfernt <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">werden (Untermatrix zum Element). Das passiert wie folgt für den Kofaktor des Elements ''d'' der Matrix ''B'':</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">*zuerst ermittelt man die Untermatrix, indem man die Zeile und Spalte, in der ''d'' steht, aus ''B'' entfernt, die Untermatrix ist somit <math>B_{2 1} = \begin{bmatrix} b & c \\ h & i \end{bmatrix}</math> </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">*Die Untermatrix heißt <math>B_{2 1}</math>, weil d in der Matrix in der zweiten Zeile und in der ersten Spalte steht</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">*Die Determinante der Untermatrix <math>B_{2 1}</math> berechnet sich wie oben durch <math>det(B_{2 1}) = b \cdot i - c \cdot h</math> - das ist die Unterdeterminante zum Element ''d'' der Matrix ''B''</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">*Als nächstes muss das Vorzeichen des Kofaktors bestimmt </ins>werden. <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Dazu nimmt man die Position des Elements ''d'' innerhalb seiner Matrix ''B'' - das sind die Zeile ''j'' = 2 und Spalte ''k'' = 1 </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">*Das Vorzeichen des Kofaktors wird berechnet aus <math>(-1)^{j+k}</math>, das heißt hier <math>(-1)^{2+1} = (-1)^{3} = -1</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">*Aus der Unterdeterminante und dem Vorzeichen ergibt sich der Kofaktor von ''d'' wie folgt: <math>cof(d) = (-1)^{j+k} \cdot det(B_{2 1}) = -1 \cdot (b \cdot i - c \cdot h) </math></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für Matrizen höherer Ordnungen wird die Determinante oft durch eine rekursive Formel berechnet, die auf Unterdeterminanten basiert. Diese Formel wird normalerweise nicht direkt verwendet, sondern durch Verwendung der Laplace-Entwicklung oder der Entwicklung nach einer Zeile/Spalte in kleinere Unterdeterminanten aufgeteilt.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für Matrizen höherer Ordnungen wird die Determinante oft durch eine rekursive Formel berechnet, die auf Unterdeterminanten basiert. Diese Formel wird normalerweise nicht direkt verwendet, sondern durch Verwendung der Laplace-Entwicklung oder der Entwicklung nach einer Zeile/Spalte in kleinere Unterdeterminanten aufgeteilt.</div></td></tr>
</table>
Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6150&oldid=prev
Gundula am 27. August 2024 um 14:07 Uhr
2024-08-27T14:07:54Z
<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 27. August 2024, 16:07 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l11">Zeile 11:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 11:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Ein '''Vektorraum''' ist eine Menge von Vektoren, auf der bestimmte Operationen (Addition und Skalarmultiplikation) definiert sind und die bestimmte Axiome erfüllt, wie z.B. die Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation, das Vorhandensein eines Nullvektors und die Existenz von inversen Elementen. Die Basis eines Vektorraums ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen. Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Ein '''Vektorraum''' ist eine Menge von Vektoren, auf der bestimmte Operationen (Addition und Skalarmultiplikation) definiert sind und die bestimmte Axiome erfüllt, wie z.B. die Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation, das Vorhandensein eines Nullvektors und die Existenz von inversen Elementen. Die Basis eines Vektorraums ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen. Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*'''Lineare Transformationen''' (auch lineare Abbildungen) sind Funktionen zwischen Vektorräumen wie Spiegelungen oder Drehungen. Diese Transformationen sind additiv, das heißt, wenn man Vektoren transformiert und dann addiert erhält man das gleiche Ergebnis wie wenn man die Vektoren addiert und die Summe transformiert. Das gleiche gilt für die Skalarprodukte von zu transformierenden Vektoren (Homogenität). Beispielsweise liegen die Vektoren (1,2) und (2,4) auf in einem zweidimensionalen Raum. Wenn man durch eine lineare Abbildung beide Vektoren verdoppelt gilt <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">einerseits </del>die Additivität: <math>2 \cdot (1,2) + 2 \cdot (2,4) = (3,6) \cdot 2</math></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*'''Lineare Transformationen''' (auch lineare Abbildungen) sind Funktionen zwischen Vektorräumen wie Spiegelungen oder Drehungen. Diese Transformationen sind additiv, das heißt, wenn man Vektoren transformiert und dann addiert erhält man das gleiche Ergebnis wie wenn man die Vektoren addiert und die Summe transformiert. Das gleiche gilt für die Skalarprodukte von zu transformierenden Vektoren (Homogenität). Beispielsweise liegen die Vektoren (1,2) und (2,4) auf in einem zweidimensionalen Raum. Wenn man durch eine lineare Abbildung beide Vektoren verdoppelt<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, </ins>gilt die Additivität: <math>2 \cdot (1,2) + 2 \cdot (2,4) = (3,6) \cdot 2 <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">= (6,12)</math> und die Homogenität: <math>2 \cdot 3 \cdot (2,4) = 2 \cdot (6,12) = (12,24)</ins></math><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">.</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Eine Menge von Vektoren ist '''linear unabhängig''', wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Andernfalls sind die Vektoren linear abhängig. Ein Vektor ''v'' ist eine Linearkombination von anderen Vektoren <math>v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}</math>, wenn er als Summe von Skalarmultiplikationen dieser Vektoren dargestellt werden kann.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Eine Menge von Vektoren ist '''linear unabhängig''', wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Andernfalls sind die Vektoren linear abhängig. Ein Vektor ''v'' ist eine Linearkombination von anderen Vektoren <math>v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}</math>, wenn er als Summe von Skalarmultiplikationen dieser Vektoren dargestellt werden kann.</div></td></tr>
</table>
Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6149&oldid=prev
Gundula am 27. August 2024 um 13:52 Uhr
2024-08-27T13:52:48Z
<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 27. August 2024, 15:52 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">Zeile 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 1:</td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektoren, Vektorräumen, Transformationen und Matrizen. Diese und weitere Begriffe und das Rechnen mit Matrizen wird unten erklärt.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=Grundbegriffe=</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=Grundbegriffe=</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l5">Zeile 5:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 7:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Ein '''Vektor''' ist eine mathematische Größe, die durch eine geordnete Menge von Zahlen repräsentiert wird. Vektoren werden verwendet, um Richtung und Betrag (Länge) zu beschreiben. Ein Vektor kann zum Beispiel so aussehen: <math>A = \begin{bmatrix} a & b & c & d \end{bmatrix}</math>. a, b, c und d sind hier die Komponenten des Vektors, wobei die Anzahl der Komponenten der Anzahl der Dimensionen des Vektors entspricht. Der Beispielvektor ist also vierdimensional.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Ein '''Vektor''' ist eine mathematische Größe, die durch eine geordnete Menge von Zahlen repräsentiert wird. Vektoren werden verwendet, um Richtung und Betrag (Länge) zu beschreiben. Ein Vektor kann zum Beispiel so aussehen: <math>A = \begin{bmatrix} a & b & c & d \end{bmatrix}</math>. a, b, c und d sind hier die Komponenten des Vektors, wobei die Anzahl der Komponenten der Anzahl der Dimensionen des Vektors entspricht. Der Beispielvektor ist also vierdimensional.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Skalarprodukt: Das <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Skalaprodukt </del>zweier Vektoren ''v'' und ''w'' lässt sich als Summe der Produkte ihrer Komponenten wie folgt berechnen: <math>\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n </math></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''</ins>Skalarprodukt:<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">''' </ins>Das <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Skalarprodukt </ins>zweier Vektoren ''v'' und ''w'' lässt sich als Summe der Produkte ihrer Komponenten wie folgt berechnen: <math>\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n </math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Ein '''Vektorraum''' ist eine Menge von Vektoren, auf der bestimmte Operationen (Addition und Skalarmultiplikation) definiert sind und die bestimmte Axiome erfüllt, wie z.B. die Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation, das Vorhandensein eines Nullvektors und die Existenz von inversen Elementen. Die Basis eines Vektorraums ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen. Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Ein '''Vektorraum''' ist eine Menge von Vektoren, auf der bestimmte Operationen (Addition und Skalarmultiplikation) definiert sind und die bestimmte Axiome erfüllt, wie z.B. die Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation, das Vorhandensein eines Nullvektors und die Existenz von inversen Elementen. Die Basis eines Vektorraums ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen. Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">*'''Lineare Transformationen''' (auch lineare Abbildungen) sind Funktionen zwischen Vektorräumen wie Spiegelungen oder Drehungen. Diese Transformationen sind additiv, das heißt, wenn man Vektoren transformiert und dann addiert erhält man das gleiche Ergebnis wie wenn man die Vektoren addiert und die Summe transformiert. Das gleiche gilt für die Skalarprodukte von zu transformierenden Vektoren (Homogenität). Beispielsweise liegen die Vektoren (1,2) und (2,4) auf in einem zweidimensionalen Raum. Wenn man durch eine lineare Abbildung beide Vektoren verdoppelt gilt einerseits die Additivität: <math>2 \cdot (1,2) + 2 \cdot (2,4) = (3,6) \cdot 2</math></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Eine Menge von Vektoren ist '''linear unabhängig''', wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Andernfalls sind die Vektoren linear abhängig. Ein Vektor ''v'' ist eine Linearkombination von anderen Vektoren <math>v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}</math>, wenn er als Summe von Skalarmultiplikationen dieser Vektoren dargestellt werden kann.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>*Eine Menge von Vektoren ist '''linear unabhängig''', wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Andernfalls sind die Vektoren linear abhängig. Ein Vektor ''v'' ist eine Linearkombination von anderen Vektoren <math>v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}</math>, wenn er als Summe von Skalarmultiplikationen dieser Vektoren dargestellt werden kann.</div></td></tr>
</table>
Gundula
http://methpsy.elearning.psych.tu-dresden.de/mediawiki/index.php?title=Lineare_Algebra&diff=6144&oldid=prev
Gundula am 19. August 2024 um 12:07 Uhr
2024-08-19T12:07:49Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 19. August 2024, 14:07 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l98">Zeile 98:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 98:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Gegeben sei eine quadratische Matrix ''A'' der Größe ''n'' x ''n''. Ein Skalar λ ist ein Eigenwert von ''A'', wenn es einen nicht-trivialen Vektor ''v'' gibt, genannt Eigenvektor, der unter der Transformation durch ''A'' nur um einen Skalar λ skaliert wird. Das heißt, wenn ''Av'' = λ''v'' gilt, wobei ''v'' ≠ 0. </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Gegeben sei eine quadratische Matrix ''A'' der Größe ''n'' x ''n''. Ein Skalar λ ist ein Eigenwert von ''A'', wenn es einen nicht-trivialen Vektor ''v'' gibt, genannt Eigenvektor, der unter der Transformation durch ''A'' nur um einen Skalar λ skaliert wird. Das heißt, wenn ''Av'' = λ''v'' gilt, wobei ''v'' ≠ 0. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''Beispiel:''' Bei einer 2x2-Matrix A mit <math>A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math> und ihrem Eigenvektor <math>v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math> ist <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">λ </del>ein Eigenwert von ''A'', wenn <math>\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}<math></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''Beispiel:''' Bei einer 2x2-Matrix A mit <math>A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math> und ihrem Eigenvektor <math>v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math> ist <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math>\lambda</math> </ins>ein Eigenwert von ''A'', wenn <math>\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}<<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">/</ins>math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Durch die Auflösung dieses Gleichungssystems lässt sich λ berechnen.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Durch die Auflösung dieses Gleichungssystems lässt sich λ berechnen.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Eigenwerte und -vektoren spielen unter anderem eine wichtige Rolle bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen und wird auch in der Hauptkomponentenanalyse verwendet.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Eigenwerte und -vektoren spielen unter anderem eine wichtige Rolle bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen und wird auch in der Hauptkomponentenanalyse verwendet.</div></td></tr>
</table>
Gundula