Vergleichsmaße - Versionsgeschichte

Josefine am 9. Dezember 2021 um 14:16 Uhr

2021-12-09T14:16:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2021, 16:16 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:


	::[[Datei:Vergleichsmasse_1.png]]		::[[Datei:Vergleichsmasse_1.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#AIC\|Ausgelagerte Formel AIC]]


	::[[Datei:Vergleichsmasse_2.PNG]]		::[[Datei:Vergleichsmasse_2.PNG\|Das Bild ist Bestandteil der vorhergehenden Formel und wurde bereits dort beschrieben]]


Zeile 26:		Zeile 26:


	::[[Datei:Vergleichsmasse_3.png]]		::[[Datei:Vergleichsmasse_3.png\|link=Ausgelagerte_Formeln#BIC\|Ausgelagerte Formel BIC]]


	::[[Datei:Vergleichsmasse_4.PNG]]		::[[Datei:Vergleichsmasse_4.PNG\|Das Bild ist Bestandteil der vorhergehenden Formel und wurde bereits dort beschrieben]]

Wehner am 27. August 2018 um 12:38 Uhr

2018-08-27T12:38:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2018, 14:38 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Nav\|Navigation\|Kognitive Modellierung\|Hauptseite}}		{{Nav\|Navigation\|Modellvergleich\|Kognitive Modellierung\|Hauptseite}}
	Im Rahmen eines quantitativen Modellvergleichs wird die Balance zwischen möglichst geringer Parameteranzahl und guter Vorhersagefähigkeit verschiedener Modelle untersucht, um die Wahl eines optimalen Modells zu ermöglichen. Obwohl kein einheitliches Kriterium für diese Entscheidung existiert, kann die Berechnung von ''Vergleichsmaßen'' (auch als Informationskriterien bezeichnet) als Orientierung dienen.		Im Rahmen eines quantitativen Modellvergleichs wird die Balance zwischen möglichst geringer Parameteranzahl und guter Vorhersagefähigkeit verschiedener Modelle untersucht, um die Wahl eines optimalen Modells zu ermöglichen. Obwohl kein einheitliches Kriterium für diese Entscheidung existiert, kann die Berechnung von ''Vergleichsmaßen'' (auch als Informationskriterien bezeichnet) als Orientierung dienen.
	Diese Kriterien berücksichtigen nicht nur den Fit der Modelle an die empirischen Daten, sondern beachten zusätzlich die Anzahl der verwendeten Parameter. Dies ist wichtig, damit komplexere Modelle nicht grundsätzlich als besser eingestuft werden, weil sie exakter an die aktuell vorliegenden Daten angepasst werden können. Das mit Hilfe der Vergleichsmaße ermittelte optimale Modell soll dabei das bestmögliche Verhältnis zwischen hoher Vorhersagefähigkeit und geringer Komplexität besitzen.		Diese Kriterien berücksichtigen nicht nur den Fit der Modelle an die empirischen Daten, sondern beachten zusätzlich die Anzahl der verwendeten Parameter. Dies ist wichtig, damit komplexere Modelle nicht grundsätzlich als besser eingestuft werden, weil sie exakter an die aktuell vorliegenden Daten angepasst werden können. Das mit Hilfe der Vergleichsmaße ermittelte optimale Modell soll dabei das bestmögliche Verhältnis zwischen hoher Vorhersagefähigkeit und geringer Komplexität besitzen.

Wehner am 26. August 2018 um 13:15 Uhr

2018-08-26T13:15:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. August 2018, 15:15 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:		Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

	~~[[Datei:Vergleichsmasse_1.png]]~~

	[[Datei:Vergleichsmasse_2.PNG]]		::[[Datei:Vergleichsmasse_1.png]]


			::[[Datei:Vergleichsmasse_2.PNG]]


	Bei der Berechnung des AIC ist zu beachten, dass es keinen vordefinierten Wertebereich gibt, welcher eine gute Anpassung des Modells an die Daten widerspiegelt. Der Wert an sich gibt also keine Auskunft über die Güte eines Modells. Deswegen eignet sich das AIC eher für den Vergleich zweier Modelle. Hierbei vergleicht man deren jeweilige AIC-Werte miteinander und entscheidet sich – falls es keine inhaltlichen Gründe gibt, die dagegensprechen – für das Modell mit dem geringeren AIC-Wert.		Bei der Berechnung des AIC ist zu beachten, dass es keinen vordefinierten Wertebereich gibt, welcher eine gute Anpassung des Modells an die Daten widerspiegelt. Der Wert an sich gibt also keine Auskunft über die Güte eines Modells. Deswegen eignet sich das AIC eher für den Vergleich zweier Modelle. Hierbei vergleicht man deren jeweilige AIC-Werte miteinander und entscheidet sich – falls es keine inhaltlichen Gründe gibt, die dagegensprechen – für das Modell mit dem geringeren AIC-Wert.
Zeile 22:		Zeile 25:
	Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:		Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

	~~[[Datei:Vergleichsmasse_3.png]]~~

	[[Datei:Vergleichsmasse_4.PNG]]		::[[Datei:Vergleichsmasse_3.png]]


			::[[Datei:Vergleichsmasse_4.PNG]]


	Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.		Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.

	Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.		Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.

Wehner am 26. August 2018 um 10:19 Uhr

2018-08-26T10:19:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. August 2018, 12:19 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:		Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

	[[Datei:~~Vergleichsmaße_Formel_1~~.PNG]]		[[Datei:Vergleichsmasse_1.png]]

			[[Datei:Vergleichsmasse_2.PNG]]

	Bei der Berechnung des AIC ist zu beachten, dass es keinen vordefinierten Wertebereich gibt, welcher eine gute Anpassung des Modells an die Daten widerspiegelt. Der Wert an sich gibt also keine Auskunft über die Güte eines Modells. Deswegen eignet sich das AIC eher für den Vergleich zweier Modelle. Hierbei vergleicht man deren jeweilige AIC-Werte miteinander und entscheidet sich – falls es keine inhaltlichen Gründe gibt, die dagegensprechen – für das Modell mit dem geringeren AIC-Wert.		Bei der Berechnung des AIC ist zu beachten, dass es keinen vordefinierten Wertebereich gibt, welcher eine gute Anpassung des Modells an die Daten widerspiegelt. Der Wert an sich gibt also keine Auskunft über die Güte eines Modells. Deswegen eignet sich das AIC eher für den Vergleich zweier Modelle. Hierbei vergleicht man deren jeweilige AIC-Werte miteinander und entscheidet sich – falls es keine inhaltlichen Gründe gibt, die dagegensprechen – für das Modell mit dem geringeren AIC-Wert.
Zeile 20:		Zeile 22:
	Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:		Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

	~~- FORMEL BIC EINSETZEN -~~		[[Datei:Vergleichsmasse_3.png]]

			[[Datei:Vergleichsmasse_4.PNG]]

	Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.		Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.

	Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.		Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.

Wehner am 24. August 2018 um 16:06 Uhr

2018-08-24T16:06:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2018, 18:06 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:		Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

	~~<math alt="Square root of pi">\sqrt{\pi}</math>~~		- FORMEL BIC EINSETZEN -

	Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.		Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.

	Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.		Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.

Wehner am 24. August 2018 um 16:01 Uhr

2018-08-24T16:01:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2018, 18:01 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:		Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

	~~FORMEL BIC EINSETZEN~~		<math alt="Square root of pi">\sqrt{\pi}</math>

	Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.		Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.

	Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.		Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.

Wehner am 24. August 2018 um 15:56 Uhr

2018-08-24T15:56:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2018, 17:56 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:		Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

	~~FORMEL AIC EINSETZEN~~		[[Datei:Vergleichsmaße_Formel_1.PNG]]

	Bei der Berechnung des AIC ist zu beachten, dass es keinen vordefinierten Wertebereich gibt, welcher eine gute Anpassung des Modells an die Daten widerspiegelt. Der Wert an sich gibt also keine Auskunft über die Güte eines Modells. Deswegen eignet sich das AIC eher für den Vergleich zweier Modelle. Hierbei vergleicht man deren jeweilige AIC-Werte miteinander und entscheidet sich – falls es keine inhaltlichen Gründe gibt, die dagegensprechen – für das Modell mit dem geringeren AIC-Wert.		Bei der Berechnung des AIC ist zu beachten, dass es keinen vordefinierten Wertebereich gibt, welcher eine gute Anpassung des Modells an die Daten widerspiegelt. Der Wert an sich gibt also keine Auskunft über die Güte eines Modells. Deswegen eignet sich das AIC eher für den Vergleich zweier Modelle. Hierbei vergleicht man deren jeweilige AIC-Werte miteinander und entscheidet sich – falls es keine inhaltlichen Gründe gibt, die dagegensprechen – für das Modell mit dem geringeren AIC-Wert.

Wehner am 11. August 2018 um 20:51 Uhr

2018-08-11T20:51:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. August 2018, 22:51 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:		Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

	~~AIC_m=-2ln(L_m)+2\|k_m\|~~		FORMEL AIC EINSETZEN

	~~mit L_m … Likelihood~~ des Modells		Bei der Berechnung des AIC ist zu beachten, dass es keinen vordefinierten Wertebereich gibt, welcher eine gute Anpassung des Modells an die Daten widerspiegelt. Der Wert an sich gibt also keine Auskunft über die Güte eines Modells. Deswegen eignet sich das AIC eher für den Vergleich zweier Modelle. Hierbei vergleicht man deren jeweilige AIC-Werte miteinander und entscheidet sich – falls es keine inhaltlichen Gründe gibt, die dagegensprechen – für das Modell mit dem geringeren AIC-Wert.
	~~k_m …~~ Anzahl der Parameter
			== BIC ==

			Das Bayesian-Information-Criterion (BIC) wird auch als Schwarz-Information-Criterion (SIC) bezeichnet und ähnelt dem AIC stark. Es wird ebenfalls zum Vergleich mehrerer Modelle basierend auf ihren Log-Likelihoodwerten verwendet. Wie beim AIC wird die Anzahl der Parameter auch hier bestrafend in die Berechnung des Informationskriteriums einbezogen. Zusätzlich wird diese aber noch mit der Anzahl der Beobachtungen multipliziert.

			Die Ermittlung des BIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

			FORMEL BIC EINSETZEN

			Im Gegensatz zum AIC spielt beim BIC also die Stichprobengröße eine Rolle. Da große Stichproben eine Verbesserung des Log-Likelihoodwertes leichter ermöglichen, scheinen ohne deren Berücksichtigung Modelle mit verhältnismäßig vielen Parametern öfter als vorteilhaft. Durch Verwendung des BIC wird dieses Problem reduziert. Bereits ab einer Stichprobengröße von 8 (ln(8) = 2,07944 > 2) bestraft das BIC komplexere Modelle stärker als das AIC.

			Das bessere Modell besitzt den geringeren BIC Wert. Dieser kann jedoch, wie das AIC, nicht als absolutes Gütemaß verstanden werden. Auch ein Modell, welches mithilfe dieses Vergleichsmaßes als bestes Modell ermittelt wird, kann eine sehr schlechte Anpassung an die Daten aufweisen, da es lediglich besser ist, als die in den Vergleich einbezogenen Alternativmodelle.

Wehner am 11. August 2018 um 20:47 Uhr

2018-08-11T20:47:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. August 2018, 22:47 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	== AIC ==		== AIC ==

	Das Akaike-Information-Criterion (AIC) wird zum Vergleich mehrerer Modelle basierend auf ihren Log-Likelihoodwerten verwendet. Je kleiner der AUC-Wert ist, umso besser ist der Fit des Modells. Der Log-Likelihoodwert ist umso größer, je besser das Modell die realen Daten vorhersagen kann. Um komplexere Modelle jedoch nicht grundsätzlich besser zu bewerten, weil sie exakter an die aktuell vorliegenden Daten angepasst werden können und somit ein „overfitting“ des Modells zu vermeiden, wird neben dem Log-Likelihoodwert des Modells zusätzlich die Anzahl der Parameter als Summand in die Berechnung des Vergleichsmaßes integriert.		Das Akaike-Information-Criterion (AIC) wird zum Vergleich mehrerer Modelle basierend auf ihren Log-Likelihoodwerten verwendet. Je kleiner der AUC-Wert ist, umso besser ist der Fit des Modells. Der Log-Likelihoodwert ist umso größer, je besser das Modell die realen Daten vorhersagen kann. Um komplexere Modelle jedoch nicht grundsätzlich besser zu bewerten, weil sie exakter an die aktuell vorliegenden Daten angepasst werden können und somit ein [[Auflösung vs. Noise\|„overfitting“]] des Modells zu vermeiden, wird neben dem Log-Likelihoodwert des Modells zusätzlich die Anzahl der Parameter als Summand in die Berechnung des Vergleichsmaßes integriert.

			Die Ermittlung des AIC für ein Modell m erfolgt mithilfe folgender Formel:

			AIC_m=-2ln(L_m)+2\|k_m\|

			mit L_m … Likelihood des Modells
			k_m … Anzahl der Parameter

Wehner am 11. August 2018 um 20:43 Uhr

2018-08-11T20:43:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. August 2018, 22:43 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Diese Kriterien berücksichtigen nicht nur den Fit der Modelle an die empirischen Daten, sondern beachten zusätzlich die Anzahl der verwendeten Parameter. Dies ist wichtig, damit komplexere Modelle nicht grundsätzlich als besser eingestuft werden, weil sie exakter an die aktuell vorliegenden Daten angepasst werden können. Das mit Hilfe der Vergleichsmaße ermittelte optimale Modell soll dabei das bestmögliche Verhältnis zwischen hoher Vorhersagefähigkeit und geringer Komplexität besitzen.		Diese Kriterien berücksichtigen nicht nur den Fit der Modelle an die empirischen Daten, sondern beachten zusätzlich die Anzahl der verwendeten Parameter. Dies ist wichtig, damit komplexere Modelle nicht grundsätzlich als besser eingestuft werden, weil sie exakter an die aktuell vorliegenden Daten angepasst werden können. Das mit Hilfe der Vergleichsmaße ermittelte optimale Modell soll dabei das bestmögliche Verhältnis zwischen hoher Vorhersagefähigkeit und geringer Komplexität besitzen.
	Zu den am häufigsten verwendeten Vergleichsmaßen gehören das Akaike-Information-Criterion (AIC) und das Bayesian-Information-Criterion (BIC).		Zu den am häufigsten verwendeten Vergleichsmaßen gehören das Akaike-Information-Criterion (AIC) und das Bayesian-Information-Criterion (BIC).

			== AIC ==

			Das Akaike-Information-Criterion (AIC) wird zum Vergleich mehrerer Modelle basierend auf ihren Log-Likelihoodwerten verwendet. Je kleiner der AUC-Wert ist, umso besser ist der Fit des Modells. Der Log-Likelihoodwert ist umso größer, je besser das Modell die realen Daten vorhersagen kann. Um komplexere Modelle jedoch nicht grundsätzlich besser zu bewerten, weil sie exakter an die aktuell vorliegenden Daten angepasst werden können und somit ein „overfitting“ des Modells zu vermeiden, wird neben dem Log-Likelihoodwert des Modells zusätzlich die Anzahl der Parameter als Summand in die Berechnung des Vergleichsmaßes integriert.