Konvolution

Diskrete Konvolution

Mit der Konvolution (auch Faltung) kombiniert man zwei Funktionen zu einer neuen Funktion. Formal wird sie wie folgt ausgedrückt:

$(f\circledast g)(m)=\sum _{m=\infty }^{-\infty }f(m)\cdot g(n-m)$

Beispielsweise möchte man die zwei Funktionen f und g falten. Das Ergebnis wird dabei die Funktion h sein. Für die Einfachheit definieren wir hier die Werte der zwei Funktionen nicht im Unendlichen, sondern als zwei Vektoren mit endlich vielen diskreten Funktionswerten. Sowohl in diesem Beispiel als auch für die Konvolution allgemein gilt die Annahme, dass diese beiden Funktionen unabhängig voneinander sind.

$f(t)=[1,2,3]$

$g(t)=[0.2,0.5,0.7]$

Für die Konvolution wird zuerst eine der Funktionen, hier g an der vertikalen Achse gespiegelt.

$g(-t)=[0.7,0.5,0.2]$

Dann wird diese gespiegelte entlang der anderen Funktion $f$, bildlich gesprochen als würde man ein Fenster über $f$ verschieben. An jeder Position von $f$ multipliziert man die Werte der Funktionen miteinander, die „untereinander“ stehen. An der ersten Position überlappen sich hier nur die 1 von $f$ und die 0.2 von $g$. daher ist an dieser ersten Stelle $h=1*0.2=0.2$.

Im nächsten Schritt wird die gespiegelte Funktion $g$ „eins nach rechts“ verschoben und so überlappen sich $f=1$ und $g=0.5$ sowie $f=2$ und $g=0.3$. Dabei ergibt sich für h an dieser Stelle $h=1*0.5+2*0.2=0.9$. Die Werte, die „übereinander“ stehen werden also wieder multipliziert und alle Produkte an einer Verschiebungsposition addiert. Wenn man das für jede der Möglichen Positionen zwischen $f$ und $g$ macht, ergibt sich $h(t)=[0.2,0.9,2.3,2.9,2.1]$. Eine sehr empfehlenswerte visuelle Erklärung für diskrete Konvolution haben unter anderem 3Blue1Brown erstellt.

Kontinuierliche Konvolution

$(f\circledast g)(m)=\int _{m=\infty }^{-\infty }f(m)\cdot g(n-m)dm$

Bei der Konvolution kontinuierlicher Funktionen wird auch eine Funktion, die zuvor an der vertikalen Achse gespiegelt wurde, über die andere Funktion "geschoben". Dabei werden die beiden Funktionen an jeder Position punktweise multipliziert. Das bedeutet, an jedem dieser Punkte wird also ein Produkt gebildet, das wiederum als Funktionswert abgetragen werden kann. Damit kann in einer Position (in der die Funktionen übereinanderstehen) ein Funktionsgraph gezeichnet werden. Das Integral dieser Funktion (also die Fläche unter dem Graph) ist dann der Funktionswert der gefalteten Funktion aus den beiden ursprünglichen Funktionen. Auch hierfür haben 3Blue1Brown auf Youtube eine grafische Erklärung zusammengestellt.