Bedingte Wahrscheinlichkeit

(Un)Abhängigkeit von Ereignissen

Zwei Ereignisse sind dann voneinander abhängig, wen das Auftreten eines Ereignisses von dem des anderen bedingt wird, z.B., wenn wir einen Würfel nur dann ein zweites Mal werfen, wenn wir im ersten Durchgang eine sechs gewürfelt haben. Unabhängige Ereignisse beeinflussen ihr Auftreten nicht gegenseitig, z.B. wenn wir zwei Würfel gleichzeitig werfen.

Notation: zwei Ereignisse im gleichen Zufallsexperiment sind unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(B).P(A)

Gegenseitiger Ausschluss

Zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn sie nicht zusammen stattfinden können. Die Wahrscheinlichkeit für eines von zwei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen ist dabei P(A ∪ B) = P(A) or P(B) = P(A) + P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis A unter der Bedingung ist, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist. Sie wird oft als P(A∣B) geschrieben und ausgedrückt als:

Wenn P(B) > 0, gilt $P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Gesprochen bedeutet das „Die bedingte Wahrscheinlichkeit für A, unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt.“

Beispiel: In einer Urne liegen 10 rote und 20 grüne Kugeln 5 der roten Kugeln sind klein, der Rest groß, von den grünen Kugeln sind 7 klein und 13 groß. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine gezogene Kugel klein ist, vorausgesetzt, es wurde eine rote Kugel gezogen?

P(klein ∩ rot) = 5/30 = 1/6

Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen (B): P(rot) = 1/3

P(klein|rot) = P(klein ∩ rot)/P(rot) = 1/6 / 1/3 = 1/2

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes beschreibt die Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten. Demnach lässt sich für zwei Ereignisse A und B mit P(B)>0 die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, durch die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist, errechnen: $P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}$

Der Satz von Bayes erlaubt es uns, die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) aus der umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) zu berechnen, indem wir diese mit der Wahrscheinlichkeit von A P(A) und der Wahrscheinlichkeit von B P(B) ins Verhältnis setzen.

Ein häufiges Beispiel für die Anwendung des Satzes von Bayes ist das medizinische Diagnostik-Szenario. Angenommen, wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Person eine Krankheit hat (A), wenn sie einen positiven Test (B) hat. Dabei wissen wir P(B|A) (Sensitivität des Tests), P(A) (Prävalenz der Krankheit) und P(B) (die Wahrscheinlichkeit, einen positiven Test zu erhalten).