Komplexe Zahlen

- Abbildungen folgen noch -

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und bestehen aus einem realen und einem imaginären Anteil. Sie haben die Form a+bi, wobei a der reale Teil und b der imaginäre Teil ist und i die imaginäre Einheit ist mit der Eigenschaft $i^{2}=-1$. Visuell kann man sich komplexe Zahlen als Vektoren auf der komplexen Zahlenebene vorstellen . Nebenbei bemerkt kann man jede Zahl als Vektor auf der Zahlenebene auffassen, nur dass Zahlen ohne imaginären Anteil Vektoren entlang der reellen Zahlenachse sind. Wenn man komplexe Zahlen als Vektoren auffasst, lassen sie sich nicht nur durch ihre Koordinaten ausdrücken, sondern auch über ihren Betrag, also ihren Abstand zum Nullpunkt, und ihren Winkel zur positiven reellen Zahlenachse (gegen den Uhrzeigersinn). Dieser Winkel wird auch das Argument der komplexen Zahl genannt.

z sei eine beliebige komplexe Zahl. Dabei gilt:

$z=a\cdot bi$

Betrag: $r=\mid z\mid ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ (s. unten) Argument: $arg(z)=\Theta =arctan({\frac {b}{a}})$

Man kann eine komplexe Zahl entsprechend auch durch ihren Betrag und ihr Argument darstellen, dabei spricht man von der Eulerschen Form bzw. der trigonometrischen Form:

$z=r(cos(\Theta )+i\cdot sin(\Theta ))$

Rechenregeln für komplexe Zahlen

Addition und Subtraktion

Bei Addition und Subtraktion betrachtet man die Real- und Imaginäranteile der Zahlen separat. Wenn man also die Zahlen $(a+bi)$ und $(c+di)$ addieren oder subtrahieren möchte, werden die Realteile (a und c) und die Imaginärteile (bi und di) einzeln behandelt. Das sieht wie folgt aus:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

Randnotiz: Die Klammern um $(a+c)$ bzw $(a-c)$ sind hier nicht notwendig und nur zur visuellen Verdeutlichung eingetragen. Im Fall von $(b+d)i$ bzw. $(b+d)i$ sind die Klammern notwendig, weil i ausgeklammert wurde.

Multiplikation

Für die Multiplikation komplexer Zahlen gilt das Distributivgesetz und wir müssen berücksichtigen, dass $i^{2}=-1$. Beispielsweise werden hier die Zahlen $(a+bi)$ und $(c+di)$ multipliziert. Dabei löst man zuerst die Klammern unter Beachtung des Distributivgesetzes:

$(a+bi)\cdot (c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}$

Dann wird $i^{2}$ durch −1 ersetzt: $(a+bi)\cdot (c+di)=ac+adi+bci+bd\cdot -1$

Danach kann man zusammenfassen zu:

$(a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i$

In der trigonometrischen Form:

$z1\cdot z2=r1\cdot r2\cdot (cos(\Theta 1+\Theta 2)+i\cdot sin(\Theta 1+\Theta 2))$

Division

Um zwei komplexe Zahlen zu dividieren, multipliziert man den Zähler und den Nenner mit dem komplex konjugierten des Nenners und wendet dann die Regel für die Multiplikation an.

Komplex konjugierte: Das komplex konjugierte einer komplexen Zahl a+bi ist a−bi.

Betrag einer komplexen Zahl

Da komplexe Zahlen als Vektoren in der komplexen Zahlenebene anzusehen sind, kann man ihren Betrag (Länge des Vektors) mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dabei werden der Real- und der Imaginärteil als Katheten und der Betrag als Hypothenuse betrachtet. Dementsprechend berechnet sich der Betrag |z| einer komplexen Zahl $z=a+bi$ wie folgt: $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Potenzen von i

Potenzen von i verhalten sich wie folgt:
$i^{1}=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$

Komplexe Exponentialfunktion

Die komplexe Exponentialfunktion, auch Eulersche Formel, ist definiert als: $e^{ix}=cos(x)+i\cdot sin(x)$

Die komplexe Exponentialfunktion ist auch wichtig für die Darstellung von periodischen Funktionen durch die Fourierreihe. Durch die Verwendung von komplexen Exponentialfunktionen können trigonometrische Reihen in kompakterer Form dargestellt werden.

Komplexe Funktionen

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

Trigonometrische Form:

$f(z)=u(r\cdot cos(\Theta ),r\cdot sin(\Theta ))+i\cdot v\cdot (rcos(\Theta ),r\cdot sin(\Theta ))$

Auch die komplexe Funktion f(z) besteht aus einem Realteil (u) und einem Imaginärteil (v). x und y werden in der trigonometrischen Form durch $r\cdot cos(\Theta )$ und $r\cdot sin(\Theta )$ ersetzt. r ist dabei der Betrag der komplexen Zahl und Theta ($\Theta$) ihr Argument (s. oben).