Konvolution: Unterschied zwischen den Versionen
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Mit der Konvolution (auch Faltung) kombiniert man zwei Funktionen zu einer neuen Funktion. | |||
=Diskrete Konvolution= | =Diskrete Konvolution= | ||
Eine diskrete Konvolution führt man durch, um diskrete Funktionen zu verknüpfen, das heißt Funktionen, die endlich viele Werte in ihrem Definitionsbereich oder die natürlichen Zahlen als Definitionsbereich haben. Formal wird sie wie folgt ausgedrückt: | |||
<math>(f \ | <math> (f \circledast g)(m) = \sum_{m=\infty}^{-\infty} f(m) \cdot g(n-m) </math> | ||
Beispielsweise möchte man die zwei Funktionen f und g falten. Das Ergebnis wird dabei die Funktion h sein. Für die Einfachheit definieren wir hier die Werte der zwei Funktionen nicht im Unendlichen, sondern als zwei Vektoren mit endlich vielen diskreten Funktionswerten. Sowohl in diesem Beispiel als auch für die Konvolution allgemein gilt die Annahme, dass diese beiden Funktionen unabhängig voneinander sind. | Beispielsweise möchte man die zwei Funktionen f und g falten. Das Ergebnis wird dabei die Funktion h sein. Für die Einfachheit definieren wir hier die Werte der zwei Funktionen nicht im Unendlichen, sondern als zwei Vektoren mit endlich vielen diskreten Funktionswerten. Sowohl in diesem Beispiel als auch für die Konvolution allgemein gilt die Annahme, dass diese beiden Funktionen unabhängig voneinander sind. | ||
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=Kontinuierliche Konvolution= | =Kontinuierliche Konvolution= | ||
Die Verknüpfung kontinuierlicher Funktionen durch Konvolution ist wie folgt definiert: | |||
<math> (f \circledast g)(m) = \int_{m=\infty}^{-\infty} f(m) \cdot g(n-m) dm </math> | |||
Bei der Konvolution kontinuierlicher Funktionen wird auch eine Funktion, die zuvor an der vertikalen Achse gespiegelt wurde, über die andere Funktion "geschoben". Dabei werden die beiden Funktionen an jeder Position punktweise multipliziert. Das bedeutet, an jedem dieser Punkte wird also ein Produkt gebildet, das wiederum als Funktionswert abgetragen werden kann. Damit kann in einer Position (in der die Funktionen übereinanderstehen) ein Funktionsgraph gezeichnet werden. Das Integral dieser Funktion (also die Fläche unter dem Graph) ist dann der Funktionswert der gefalteten Funktion aus den beiden ursprünglichen Funktionen. Auch hierfür haben [https://www.youtube.com/watch?v=IaSGqQa5O-M&ab_channel=3Blue1Brown 3Blue1Brown auf Youtube] eine grafische Erklärung zusammengestellt. | Bei der Konvolution kontinuierlicher Funktionen wird auch eine Funktion, die zuvor an der vertikalen Achse gespiegelt wurde, über die andere Funktion "geschoben". Dabei werden die beiden Funktionen an jeder Position punktweise multipliziert. Das bedeutet, an jedem dieser Punkte wird also ein Produkt gebildet, das wiederum als Funktionswert abgetragen werden kann. Damit kann in einer Position (in der die Funktionen übereinanderstehen) ein Funktionsgraph gezeichnet werden. Das Integral dieser Funktion (also die Fläche unter dem Graph) ist dann der Funktionswert der gefalteten Funktion aus den beiden ursprünglichen Funktionen. Auch hierfür haben [https://www.youtube.com/watch?v=IaSGqQa5O-M&ab_channel=3Blue1Brown 3Blue1Brown auf Youtube] eine grafische Erklärung zusammengestellt. | ||
Aktuelle Version vom 31. August 2024, 12:57 Uhr
Mit der Konvolution (auch Faltung) kombiniert man zwei Funktionen zu einer neuen Funktion.
Diskrete Konvolution
Eine diskrete Konvolution führt man durch, um diskrete Funktionen zu verknüpfen, das heißt Funktionen, die endlich viele Werte in ihrem Definitionsbereich oder die natürlichen Zahlen als Definitionsbereich haben. Formal wird sie wie folgt ausgedrückt:
Beispielsweise möchte man die zwei Funktionen f und g falten. Das Ergebnis wird dabei die Funktion h sein. Für die Einfachheit definieren wir hier die Werte der zwei Funktionen nicht im Unendlichen, sondern als zwei Vektoren mit endlich vielen diskreten Funktionswerten. Sowohl in diesem Beispiel als auch für die Konvolution allgemein gilt die Annahme, dass diese beiden Funktionen unabhängig voneinander sind.
![{\displaystyle f(t)=[1,2,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c09e66e91acac35efd921a3d50a53c8a7ec81e9)
![{\displaystyle g(t)=[0.2,0.5,0.7]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4c47d072a7b1e59a17307f16396070e40acaf6)
Für die Konvolution wird zuerst eine der Funktionen, hier g an der vertikalen Achse gespiegelt.
![{\displaystyle g(-t)=[0.7,0.5,0.2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5d87c5f124a805508e52dfe86c1e9fc45a00b9)
Dann wird diese gespiegelte entlang der anderen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , bildlich gesprochen als würde man ein Fenster über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} verschieben. An jeder Position von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} multipliziert man die Werte der Funktionen miteinander, die „untereinander“ stehen. An der ersten Position überlappen sich hier nur die 1 von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und die 0.2 von . daher ist an dieser ersten Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h = 1*0.2 = 0.2} .
Im nächsten Schritt wird die gespiegelte Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} „eins nach rechts“ verschoben und so überlappen sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f = 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g = 0.5} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f = 2} und . Dabei ergibt sich für h an dieser Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h = 1*0.5 + 2*0.2 = 0.9} . Die Werte, die „übereinander“ stehen werden also wieder multipliziert und alle Produkte an einer Verschiebungsposition addiert. Wenn man das für jede der Möglichen Positionen zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} macht, ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(t) = [0.2, 0.9, 2.3, 2.9, 2.1]} . Eine sehr empfehlenswerte visuelle Erklärung für diskrete Konvolution haben unter anderem 3Blue1Brown erstellt.
Kontinuierliche Konvolution
Die Verknüpfung kontinuierlicher Funktionen durch Konvolution ist wie folgt definiert:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f \circledast g)(m) = \int_{m=\infty}^{-\infty} f(m) \cdot g(n-m) dm }
Bei der Konvolution kontinuierlicher Funktionen wird auch eine Funktion, die zuvor an der vertikalen Achse gespiegelt wurde, über die andere Funktion "geschoben". Dabei werden die beiden Funktionen an jeder Position punktweise multipliziert. Das bedeutet, an jedem dieser Punkte wird also ein Produkt gebildet, das wiederum als Funktionswert abgetragen werden kann. Damit kann in einer Position (in der die Funktionen übereinanderstehen) ein Funktionsgraph gezeichnet werden. Das Integral dieser Funktion (also die Fläche unter dem Graph) ist dann der Funktionswert der gefalteten Funktion aus den beiden ursprünglichen Funktionen. Auch hierfür haben 3Blue1Brown auf Youtube eine grafische Erklärung zusammengestellt.