Lineare Algebra

Rechnen mit Matrizen

Matrixaddition

Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie die gleichen Dimensionen haben. Dabei wird jedes Element einer Matrix zu dem Element der anderen Matrix hinzugezählt, das an der gleichen Position steht. Man spricht dabei von elementweiser Addition.

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}}$

Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen A und B können dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen der Matrix B übereinstimmt. Dabei wird das Produkt von A*B eine Matrix C mit der Zeilenanzahl von A und der Spaltenanzahl von B. Wenn also zum Beispiel eine Matrix A mit 4 Zeilen und 3 Spalten (4 x 3) und eine Matrix B der drei Zeilen und zwei Spalten (3 x 2), erhält man die Matrix C mit 4 Zeilen und 2 Spalten. Die Matrixmultiplikation funktioniert dabei folgendermaßen:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}=a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}&c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}\\c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}&c_{22}=a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}\\c_{31}=a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}+a_{33}\cdot b_{31}&c_{32}=a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}+a_{33}\cdot b_{32}\\c_{41}=a_{41}\cdot b_{11}+a_{42}\cdot b_{21}+a_{43}\cdot b_{31}&c_{42}=a_{41}\cdot b_{12}+a_{42}\cdot b_{22}+a_{43}\cdot b_{32}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\\c_{31}&c_{32}\\c_{41}&c_{42}\\\end{bmatrix}}$

Skalarmultiplikation

Eine Matrix kann mit einem Skalar (einer einzelnen Zahl) multipliziert werden. Dies wird durch Multiplikation jedes Elements der Matrix mit dem Skalar erreicht.

Transposition

Die Transposition einer Matrix wird durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten erreicht. Wenn AA eine Matrix ist, ist ihre transponierte Matrix $A^{T}$.

Determinante

Die Determinante einer quadratischen Matrix ist eine spezielle Zahl, die oft zur Beurteilung der Invertierbarkeit der Matrix verwendet wird. Für eine 2x2-Matrix $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ ist die Determinante definiert als das Produkt der Diagonalelemente abzüglich des Produkts der Nebendiagonalelemente: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle det(A) = a \cdot d − b \cdot c}
Für eine 3x3-Matrix ist die Determinante die Summe der Produkte der Elemente der ersten Zeile mit ihren Kofaktoren: $det(A)=a\cdot cof(a)+b\cdot cof(b)+c\cdot cof(c)$

Der Kofaktor eines Elements ist das Vorzeichen der Unterdeterminante, die sich ergibt, wenn die Zeile und Spalte dieses Elements entfernt werden.

Für Matrizen höherer Ordnungen wird die Determinante oft durch eine rekursive Formel berechnet, die auf Unterdeterminanten basiert. Diese Formel wird normalerweise nicht direkt verwendet, sondern durch Verwendung der Laplace-Entwicklung oder der Entwicklung nach einer Zeile/Spalte in kleinere Unterdeterminanten aufgeteilt.

Die Determinante einer Matrix ist null, wenn die Matrix singulär ist, was bedeutet, dass sie keine Inverse hat. Sie ändert sich, wenn die Reihen einer Matrix vertauscht werden und das Vorzeichen der Determinante ändert sich, wenn zwei Reihen oder Spalten vertauscht werden.

Inverse

Eine quadratische Matrix hat eine Inverse, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Die Inverse $A^{-1}$ einer Matrix A ist eine Matrix, sodass $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$, wobei I die Einheitsmatrix ist.

Die Inverse einer Matrix kann u.a. genutzt werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen bei denen $Ax=b$ wenn A eine quadratische Matrix ist. Die Lösung ist gegeben durch $x=A^{-1}\cdot b$. Sie ist wichtig, um Koeffizienten in linearen Regressionen zu schätzen und um Eigenwerte und -vektoren zu berechnen.

Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Diagonalelemente 1 und alle anderen Elemente 0 sind.

Spur

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.

Eigenvektor

Ein Eigenvektor einer Matrix ist ein Vektor, der unter einer linearen Transformation durch die Matrix in seiner Richtung unverändert bleibt, jedoch möglicherweise um einen Skalarfaktor skaliert wird. Eigenvektoren sind besonders wichtig, weil sie die Richtungen repräsentieren, entlang derer eine lineare Transformation nur eine Skalierung, aber keine Richtungsänderung verursacht.

Eigenwert

Gegeben sei eine quadratische Matrix A der Größe n x n. Ein Skalar λ ist ein Eigenwert von A, wenn es einen nicht-trivialen Vektor v gibt, genannt Eigenvektor, der unter der Transformation durch A nur um einen Skalar λ skaliert wird. Das heißt, wenn Av = λv gilt, wobei v ≠ 0.

Beispiel: Bei einer 2x2-Matrix A mit $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ und ihrem Eigenvektor $v={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ ist λ ein Eigenwert von A, wenn <math>\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}<math> Durch die Auflösung dieses Gleichungssystems lässt sich λ berechnen.

Eigenwerte und -vektoren spielen unter anderem eine wichtige Rolle bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen und wird auch in der Hauptkomponentenanalyse verwendet.