Bootstrapping

Ein Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall bezeichnet ein Intervall möglicher Parameterausprägungen, in dem sich ein untersuchter Populationsparameter mit der Wahrscheinlichkeit des Konfidenzniveaus (1-α) befindet. Das Konfidenzintervall gibt Informationen zur Genauigkeit der Punktschätzung eines untersuchten Populationsparameters, wie z.B. des arithmetischen Mittelwertes.

Die Größe des Konfidenzniveaus kann vom Anwender frei gewählt werden und hängt von der jeweiligen Fragestellung ab. Üblicherweise werden Konfidenzniveaus von 0.95 oder 0.99 gewählt. Ein Konfidenzniveau von 0.95 beschreibt z.B., dass 95 % der 95 %-Konfidenzintervalle der aus einer Grundgesamtheit gezogenen Stichproben den Erwartungswert μ der Grundgesamtheit überdecken, wenn aus derselben Grundgesamtheit sehr viele Stichproben gezogen werden. Dieser Sachverhalt wird in Abbildung 1 mit dem Erwartungswert μ = 100, einer Stichprobengröße n = 15 und der Standardabweichung in der Grundgesamtheit σ = 15 dargestellt.

Die grüne und die dunkelblaue Markierung unterhalb der Verteilungen der Intervallgrenzen kennzeichnen diejenigen Fälle, in denen das Konfidenzintervall der Stichprobe den Erwartungswert der Grundgesamtheit nicht beinhaltet. In etwa 2.5 % der Fälle befindet sich die obere Grenze des Konfidenzintervalls unterhalb des Erwartungswertes (blau) und in 2.5 % der Fälle befindet sich die untere Grenze des Konfidenzintervalls oberhalb des Erwartungswertes μ = 100 (grün). Die untere Grenze G_u und die obere Grenze G_{o<\sub> des Konfidenzintervalls lassen sich mithilfe der folgenden Formeln schätzen:}

X̅ ist die Punktschätzung für den Populationsmittelwert, z_1-α/2 das Quantil der Standardnormalverteilung und σ_X̅ der Standardfehler der Punktschätzung des Populationsmittelwertes. Zur Berechnung des Standardfehlers wird die Standardabweichung der Population benötigt. Da diese häufig nicht bekannt ist, wird der Standardfehler des Stichprobenmittelwertes s_X̅ als Schätzwert für σ_X̅ verwendet (vgl. Standardfehler). Statt mit z-Werten der Standardnormalverteilung würden die Intervallgrenzen mit Quantilen der t-Verteilung bestimmt werden. Zum tieferen Verständnis sei auf Rudolf & Kuhlisch (2008) verwiesen. Die Breite des Konfidenzintervalls ist von verschiedenen Parametern abhängig. Ein höheres festgelegtes Konfidenzniveau (1-α), d.h. zum Beispiel 99% statt 95%, führt zu einem breiteren Konfidenzintervall. Je höher die Standardabweichung, desto breiter ist das Konfidenzintervall. Erhöht man den Stichprobenumfang, dann wird das Konfidenzintervall schmaler.

kkk Im Video wird der die Entstehung eines Konfidenzintervalls näher erläutert.

kkk Inwieweit das Konfidenzintervall von verschiedenen Parametern abhängig ist, lässt sich in der interaktiven Simulation grafisch nachvollziehen.

Weiterführende Literatur

Rudolf, M., & Kuhlisch, W. (2008). Biostatistik: Eine Einführung für Biowissenschaftler (Kapitel 9.3). München: Pearson Studium.