Lineare Algebra

Rechnen mit Matrizen

Matrixaddition

Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie die gleichen Dimensionen haben. Dabei wird jedes Element einer Matrix zu dem Element der anderen Matrix hinzugezählt, das an der gleichen Position steht. Man spricht dabei von elementweiser Addition.

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}}$

Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen A und B können dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen der Matrix B übereinstimmt. Dabei wird das Produkt von A*B eine Matrix C mit der Zeilenanzahl von A und der Spaltenanzahl von B. Wenn also zum Beispiel eine Matrix A mit 4 Zeilen und 3 Spalten (4 x 3) und eine Matrix B der drei Zeilen und zwei Spalten (3 x 2), erhält man die Matrix C mit 4 Zeilen und 2 Spalten. Die Matrixmultiplikation funktioniert dabei folgendermaßen:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}=a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}&c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}\\c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}&c_{22}=a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}\\c_{31}=a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}+a_{33}\cdot b_{31}&c_{32}=a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}+a_{33}\cdot b_{32}\\c_{41}=a_{41}\cdot b_{11}+a_{42}\cdot b_{21}+a_{43}\cdot b_{31}&c_{42}=a_{41}\cdot b_{12}+a_{42}\cdot b_{22}+a_{43}\cdot b_{32}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\\c_{31}&c_{32}\\c_{41}&c_{42}\\\end{bmatrix}}$