Trigonometrie

Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Beziehungen zwischen den Winkeln und Seitenlängen in Dreiecken beschäftigt.

Seitenverhältnisse

Die Verhältnisse der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Bezug auf einen der nicht rechten Winkel lassen sich wie folgt beschreiben:

• Sinus: das Verhältnis der Länge von Gegenkathete zur Hypothenuse $sin(\beta )={\frac {a}{b}}$
• Kosinus: das Verhältnis der Länge der Ankathete zur Hypotenuse $cos(\beta )={\frac {c}{b}}$
• Tangens: das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Ankathete $tan(\beta )={\frac {c}{a}}$
• Kotangens: das Reziprok des Tangens $cot(\beta )={\frac {a}{c}}$

Dabei ist die Hypothenuse die Seite, die dem rechten Winkel im Dreieck gegenüberliegt. Die Ankathete ist die Seite des Dreiecks, die neben der Hypthenuse am betreffenden Winkel anliegt. Die Gegenkathete liegt dem betreffenden Winkel gegenüber. Diese Funktionen erlauben es, Winkel in Dreiecken zu berechnen, wenn die Längen der Seiten bekannt sind, und umgekehrt die Seitenlängen zu bestimmen, wenn die Winkel bekannt sind. Um die Winkel in Dreiecken zu berechnen, wenn die Seitenlängen bekannt sind, benötigt man die Umkehrfunktionen Arkussinus ($sin^{-1}$), Arkuscosinus ($cos^{-1}$) und Arkustangens($tan^{-1}$).

Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit einem Radius von 1, der seinen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems (0,0) hat. Er ist ein wichtiges Werkzeug in der Trigonometrie, weil die Definitionen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus auf ihm basieren können: Für einen Winkel $\theta$ entspricht der Kosinus dem x-Koordinatenwert und der Sinus dem y-Koordinatenwert eines Punktes auf dem Einheitskreis. Eine Erklärung mit Visualisierung haben Three Blue One Brown erstellt (Stand August 2024).