Fourier-Transformation

Die Fourierreihe ist eine Methode, um periodische Funktionen als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenzen (sog. harmonische Schwingungen) darzustellen. Die Fouriertransformation ist eine Erweiterung der Fourierreihe für nicht-periodische Funktionen. Sie transformiert eine Funktion von der Zeit- (oder Orts-) Domäne in die Frequenzdomäne.

Zeit- & Frequenzdomäne

Wenn man von der Zeitdomäne spricht, betrachtet man, wie sich ein Signal im Laufe der Zeit verhält. Ein Beispiel dafür wäre eine Schallwelle, die durch die Variation des Luftdrucks in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben wird. In der Zeitdomäne betrachtet man das Signal direkt, d.h., wie es zu jedem Zeitpunkt aussieht. Die Frequenzdomäne beschreibt ein Signal in Bezug auf seine Frequenzkomponenten, d.h. wie stark bestimmte Frequenzen im Signal enthalten sind. Anstatt zu betrachten, wie das Signal im Laufe der Zeit (oder im Raum) aussieht, beobachtet man, wie viel von jeder Frequenz im Signal vorhanden ist.

Die Fouriertransformation nimmt eine Funktion (oder ein Signal) in der Zeit- oder Ortsdomäne und zerlegt es in eine Summe von Sinus- und Kosinuswellen mit unterschiedlichen Frequenzen. Das Ergebnis dieser Transformation ist eine Darstellung des Signals in der Frequenzdomäne, die zeigt, welche Frequenzen im Signal vorhanden sind und wie stark sie sind. Stellt man sich zum Beispiel eine Gitarrensaite vor Stellen Sie sich vor, die angeschlagen wird, kann man ihre Schwingung in der Zeit- oder in der Frequenzdomäne anschauen. Das erzeugte Signal in der Zeitdomäne würde die Schwingung der Saite im Laufe der Zeit darstellen. Wenn wir die Fouriertransformation darauf anwenden, können wir herausfinden, welche Frequenzen (also welche Noten) die Schwingung der Saite ausmachen und wie laut jede dieser Frequenzen ist.

Faltungstheorem

Die Faltung zweier Funktionen f(t) und g(t) in der Zeitdomäne ergibt eine neue Funktion h(t), die als Faltung der beiden Ausgangsfunktionen bezeichnet wird. Die Faltung ist definiert als $h(t)=(f\circledast g)(t)=\sum _{\infty }^{-\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau$ mit t als Variable der Ausgabe bzw. des Zeitpunkts, zu dem ein Funktionswert zugeordnet wird, und $\tau$ als Integrationsvariable bzw. dem Punkt, an dem die beiden Funktionen f und g im jeweiligen Schritt multipliziert werden (siehe auch Konvolution).
Das Faltungstheorem besagt, dass die Fouriertransformation der Faltung zweier Funktionen im Zeitbereich gleich dem Produkt der Fouriertransformationen der beiden Funktionen im Frequenzbereich ist. Mit anderen Worten: ${\mathcal {F}}\lbrace f\ast g\rbrace (t)={\mathcal {F}}\lbrace f\rbrace (f)\cdot {\mathcal {F}}\lbrace g\rbrace (f)$ mit ${\mathcal {F}}$ als Bezeichnung der Fouriertransformation.

Wenn zwei Funktionen im Frequenzbereich multipliziert werden, entspricht dies der Faltung ihrer Inversen Fouriertransformationen im Zeitbereich nach: ${\mathcal {F}}^{-1}{F(f)\cdot G(f)}=f(t)\ast g(t)$ mit $F$ und $G$ als Stammfunktionen zu f und g.

Die Faltung zweier Funktionen in der Zeitdomäne entspricht der Multiplikation ihrer Fouriertransformationen in der Frequenzdomäne.

Diskrete Fouriertransformation

Die DFT ist die diskrete Version der Fouriertransformation, die auf endlichen, diskreten Daten (z. B. digitalen Signalen) arbeitet.