Zufallsgröße

Zufallsgrößen (auch Zufallsvariablen) ordnen jedem möglichen Ergebnis einer Zufallssituation eine Zahl zu oder anders: der Wert einer Zufallsgröße hängt vom Zufall ab, z.B. die Augensumme mehrerer geworfener Würfel.

Eigenschaften

• Erwartungswert: ein nach der Wahrscheinlicheit der Werte gewichtetes Mittel
  • $\sum _{i=1}^{n}x_{i}*P(X=x_{1})$

• Varianz: Streuung von Werten um einen Mittel- oder Erwartungswert, bzw. die durchschnittliche quadratische Abweichung von Werten einer Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert.
  • $Var(X)=E\cdot ((X-E(X)^{2})$

• Standardabweichung: Ein Streuungsmaß, das die durchschnittliche Abweichung der Werte einer Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert angibt, also die Wurzel der Varianz
  • $\sigma (X)={\sqrt {Var(X)}}$

Für Summen von Zufallsgrößen gilt unter der Annahme, dass die Größen unabhängig sind: $E(X+Y)=E(X)\cdot E(Y)\cdot E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ $Var(X+Y)=Var(X)\cdot Var(Y)\cdot Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$

Für konstante Faktoren in den Summen gilt: $E(aX)=a\cdot E(X)$ $Var(aX)=a^{2}\cdot Var(X)$

Verteilungen

Zufallsgrößen können diskret oder kontinuierlich sein. Diskret bedeutet, dass die Größe eine abzählbare bzw. endliche Anzahl von Werten annehmen kann, z.B. kann das Ergebnis beim Werfen eines (idealen) Würfels nur sechs verschiedene Augenzahlen annehmen. Kontinuierliche Zufallsgrößen können hingegen innerhalb eines Intervalls unendlich viele Werte annehmen.
Diskrete Zufallsgrößen werden durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben, die die Wahrscheinlichkeit jedes Werts angibt. Kontinuierliche Zufallsgrößen werden mit einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschrieben. Dabei werden allerdings nicht die Funktionswerte einzelner Werte ermittelt, sondern es wird das Integral eines bestimmten Intervalls in der Zufallsgröße gebildet. Dieses Intervall gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsgröße Werte in diesem Intervall annimmt. Eine Übersicht zu diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen haben unter anderem GeeksForGeeks erstellt (Stand Mai 2024).