Analysis

Die Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit kontinuierlichen Prozessen, Veränderungen und Strukturen befasst. Sie bietet Wege zur Untersuchung von Funktionen und ihren Eigenschaften, Grenzwerten und Stetigkeit. Weiterhin schließt sie die Differential- und Integralrechnung ein. Auch hierzu gibt es eine Videoreihe von 3Blue1Brown mit visuellen Erklärungen zu den Grundlagen der Analysis (Stand August 2024). Auf dieser Hauptseite werden ausgewählte Grundbegriffe der Analysis erklärt. Darüber hinaus beschäftigen sich drei Unterseiten mit Konvolution, Fourier- und Wavelet-Transformationen, die eine wichtige Grundlage für Signalanalyse und -verarbeitung bilden. Sie finden unter anderem Anwendung in der Auswertung von (f)MRT- und EEG-Daten.

Grundbegriffe

Funktion

Eine Funktion (auch Abbildung) ist die Beziehung zweier Mengen, oft Eingabemenge (oder Definitionsbereich) und Ausgabemenge (oder Wertemenge, Zielbereich), die jedem Element der Eingabemenge (Funktionsargument, unabhängige Variable) genau ein Element der Ausgabemenge (Funktionswert, abhängige Variable) zuordnet. Bildlich gesprochen sagt die Funktion, wie das Funktionsargument in den Funktionswert übersetzt werden kann. Zum Beispiel ordnet die Funktion $f$ mittels $y=f(x)=x^{2}+5$ jedem Funktionsargument $x$ einen Funktionswert $y$ zu. Allgemein würde man hier schrieben $f:X\rightarrow Y$, wobei $X$ die Eingabemenge ist und $Y$ die Ausgabemenge. Dabei können Funktionen analytisch, grafisch oder tabellarisch dargestellt werden. Analytisch ist die eben genannte Schreibweise, die den Funktionswert abhängig vom Funktionsargument beschreibt. Grafisch kann eine Funktion als Verlauf in einem Diagramm dargestellt werden und tabellarisch als Liste von Funktionsargumenten und den jeweils zugeordneten Funktionswerten.

Folge

Eine Folge ist eine Liste von Elementen, die in einer bestimmten Reihenfolge auftreten. Diese kann man durch eine Formel definieren. Dabei ordnet eine Folge a jedem natürlichen Index n einen ein Element an zu. Beispielsweise gibt es die Arithmetische Folge, bei der die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden Elementen konstant ist, das heißt jedes Element ist die Summe des vorherigen Elements und der konstanten Differenz $d$. Definieren würde man eine arithmetische Folge so: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Grenzwert

Einfach ausgedrückt ist der Grenzwert (auch Limes) $L$ einer Funktion (z.B. $f(x)$) ein Wert, dem sich diese Funktion nähert, wenn man ihre Variable ($x$) einem bestimmten Wert ($a$) annähert. Zum Beispiel nähert sich die Funktion $f(x)=x^{-2}$ der Null an, wenn $x$ sich unendlich annähert. Das heißt in diesem Falle, je größer der Wert von $x$, den man in die Funktion $f$ einsetzt, ist, desto näher ist er an unendlich und desto näher ist auch der Funktionswert von $f$ an null. Geschrieben wird das im allgemeinen $\lim \limits _{x\to a}(f(x))=L$ und im Beispiel $\lim \limits _{x\to \infty }x^{-2}=0$.

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig an einem Punkt, wenn der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt existiert und gleich dem Funktionswert an diesem Punkt ist. Anschaulich bedeutet dies, dass der Graph der Funktion ohne Unterbrechung gezeichnet werden kann.

Ableitung & Integration

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion in diesem Punkt. Das Integral einer Funktion beschreibt die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen zwei Punkten. Kurze Erklärungen zu Ableitung und Integration finden sich auf der Seite Grundbegriffe Mathematik.