Konfidenzintervall: Unterschied zwischen den Versionen
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Wenn sehr viele [[Stichproben]] aus derselben Population mit dem Populationsmittelwert gezogen werden, überdecken im Mittel (1-α) -100% der daraus berechneten Konfidenzintervalle den wahren Parameter µ. Nur im Mittel α -100% aller Stichproben liefern Grenzen, die den wahren Parameter nicht überdecken. Bei der Interpretation eines Konfidenzintervalls ist zu beachten, dass die Grenzen der Konfidenzintervalle Zufallsvariablen sind, die von der Stichprobe abhängen. Nachdem für vorhandene Messwerte die Grenzen des Konfidenzintervalls [gu,go] berechnet wurden, liegt der Parameter µ entweder in diesem Intervall oder nicht. Eine Wahrscheinlichkeitsaussage ist dann nicht mehr sinnvoll. | Wenn sehr viele [[Stichproben]] aus derselben Population mit dem Populationsmittelwert gezogen werden, überdecken im Mittel (1-α) -100% der daraus berechneten Konfidenzintervalle den wahren Parameter µ. Nur im Mittel α -100% aller Stichproben liefern Grenzen, die den wahren Parameter nicht überdecken. Bei der Interpretation eines Konfidenzintervalls ist zu beachten, dass die Grenzen der Konfidenzintervalle Zufallsvariablen sind, die von der Stichprobe abhängen. Nachdem für vorhandene Messwerte die Grenzen des Konfidenzintervalls [gu,go] berechnet wurden, liegt der Parameter µ entweder in diesem Intervall oder nicht. Eine Wahrscheinlichkeitsaussage ist dann nicht mehr sinnvoll. | ||
Der Standardfehler des Mittelwerts σ<sub>X̅ </sub>= σ/√n ist als die Standardabweichung der Verteilung der Punktschätzungen des Populationsmittelwerts von Stichproben des Umfangs n einer Population definiert (σ: Standardabweichung in der Population). Als Schätzwert für σ<sub>X̅ </sub> wird der | Der '''Standardfehler''' des Mittelwerts σ<sub>X̅ </sub>= σ/√n ist als die Standardabweichung der Verteilung der Punktschätzungen des Populationsmittelwerts von Stichproben des Umfangs n einer Population definiert (σ: Standardabweichung in der Population). Dieser beschreibt also die Streuung der Stichprobenwerte um einen "wahren Wert", d. h. um den Wert, der für die Grundgesamtheit gilt. Als Schätzwert für σ<sub>X̅ </sub> wird der Standardfehler des Stichprobenmittelwerts s<sub>X̅ </sub> verwendet. Unter Verwendung dieses Wertes können Grenzen des Konfidenzintervalls berechnet werden. | ||
<br/>Für eine ausführlichere Darstellung siehe Rudolf & Kuhlisch (2008), Kapitel 4.2. | <br/>Für eine ausführlichere Darstellung siehe Rudolf & Kuhlisch (2008), Kapitel 4.2. | ||
Aktuelle Version vom 16. Mai 2016, 20:20 Uhr
Durch Konfidenzintervalle können Bereichsschätzungen für unbekannte Populationsparameter angegeben werden. Ein Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) kennzeichnet ein Intervall möglicher Parameterausprägungen, in dem sich der untersuchte Populationsparameter mit Wahrscheinlichkeit (1-α) befindet. Die Wahrscheinlichkeit (1-α) wird als Konfidenzniveau bezeichnet.
Am Beispiel des Populationsmittelwerts µ bedeutet das: Wenn sehr viele Stichproben aus derselben Population mit dem Populationsmittelwert gezogen werden, überdecken im Mittel (1-α) -100% der daraus berechneten Konfidenzintervalle den wahren Parameter µ. Nur im Mittel α -100% aller Stichproben liefern Grenzen, die den wahren Parameter nicht überdecken. Bei der Interpretation eines Konfidenzintervalls ist zu beachten, dass die Grenzen der Konfidenzintervalle Zufallsvariablen sind, die von der Stichprobe abhängen. Nachdem für vorhandene Messwerte die Grenzen des Konfidenzintervalls [gu,go] berechnet wurden, liegt der Parameter µ entweder in diesem Intervall oder nicht. Eine Wahrscheinlichkeitsaussage ist dann nicht mehr sinnvoll.
Der Standardfehler des Mittelwerts σX̅ = σ/√n ist als die Standardabweichung der Verteilung der Punktschätzungen des Populationsmittelwerts von Stichproben des Umfangs n einer Population definiert (σ: Standardabweichung in der Population). Dieser beschreibt also die Streuung der Stichprobenwerte um einen "wahren Wert", d. h. um den Wert, der für die Grundgesamtheit gilt. Als Schätzwert für σX̅ wird der Standardfehler des Stichprobenmittelwerts sX̅ verwendet. Unter Verwendung dieses Wertes können Grenzen des Konfidenzintervalls berechnet werden.
Für eine ausführlichere Darstellung siehe Rudolf & Kuhlisch (2008), Kapitel 4.2.
Beispiel
In einer Befragung bezüglich der Alter der Studierenden an der TU Dresden haben 100 zufällig ausgewählte Studierenden teilgenommen. Ihr durchschnittliches Alter betrug MW = 22 Jahre. Um eine Aussage über den Mittelwert des Alters der Grundgesamtheit aller Studierenden der TU machen zu können, wird ein Konfidenzintervall berechnet. Es wird ein Konfidenzniveau von 95% gewählt und die Standardabweichung ermittelt (SD = 3 Jahre) und daraus das Konfidenzintervall berechnet. Die Grenzen des berechneten Konfidenzintervalls betragen 21,4 und 22,6.