Skalen
Unter einer Skala versteht man ein empirisches Relativ, ein numerisches Relativ und eine die beiden Relative verknüpfende homomorphe Abbildungsfunktion.
Börtz&Döring, 2007)
Das empirische Relativ ist das tatsächlich vorliegende Verhältnis zwischen den zu untersuchenden Objekten. Das numerische Relativ stellt die theoretische Abbildung dieses Verhältnisses in Zahlen dar. Eine Skala wird also konstruiert, indem ein zu messendes Objekt, Merkmal oder Phänomen mit Zahlen nach bestimmten Abbildungsregeln gleichgesetzt wird. Die Skala dient dazu, über die enthaltenen Daten Rückschlüsse auf die Struktur des untersuchten Merkmals zu ziehen.
Beispiel Wettrennen: Lisa, Marie und Paula laufen um die Wette. Lisa kommt als erstes am Ziel an, Marie als zweites und Paula als drittes (=Empirisches Relativ). Diese Reihenfolge (Abbildungsregel) soll auf einer Skala festgehalten werden. Den drei Mädchen werden, passend zur Reihenfolge, in denen sie ins Ziel gelaufen sind, Zahlen zugewiesen. Lisa erhält die 1, Marie die 2 und Paula die 3 (=numerisches Relativ).
Eine Abbildungsregel entsteht durch die Entscheidung, wie man mit bestimmten Problemen bei der Zuordnung von Zahlen zu einem empirischen Relativ umgeht und bestimmt den Skalentyp.
1) Repräsentationsproblem:
Das Repräsentationsproblem hinterfragt, wie bzw. ob es denn möglich ist, Daten so in einer Skala abzubilden, dass sie die Struktur der empirischen Relative erhalten (Homomorphismus). Dabei kommt es auf das Skalennniveau (Nominal-, Ordinal-, Intervall- Verhältnisskala) an, welche Bedingungen (Axiome) an das numerische Relativ gestellt werden.
Beispiel Weitspringen: Paul springt 3,00m, Peter 4,00m und Patrick 4,50m. Diese Werte sollen nun auf einer Ordinalskala dargestellt werden. Aus den Daten soll also hervorgehen, dass Patrick der beste Springer war, Peter der zweitbeste und Paul der schlechteste. Patrick erhält das numerische Relativ 1, Peter die 2 und Paul die 3. Somit ist eine Rangreihenfolge erkennbar-die Struktur des empirischen Relativs bleibt erhalten. Sollten dieselben Daten aber auf einer Intervallskala abgetragen werden, aus der hervorgeht, um wieviel Patrick besser war als Peter oder Paul, müsste man andere Zahlen verwenden, um diese "Intervalle" strukturerhaltend darzustellen. In diesem Fall wäre es sinnvoll, Patrick die 4,50 zuzuordnen, Peter die 4,00 und Paul die 3,00. Aus diesen Daten könnte man erkennen, dass Patrick am weitesten gesprungen ist, und zwar genau um 0,5m weiter als Peter und um 1 ,00m weiter als Paul.
Das Repräsentationsproblem bekommt dann große Bedeutung, wenn eine Eigenschaft tatsächlich nicht auf einer eindimensionalen Skala abbildbar ist (siehe Homogenität).
Beispiel: Linda wird gefragt, wen sie mehr mag und sie sortiert: Patrick, Peter, Paul. Den drei Männern werden entsprechend einer Ordinalskala Zahlen zugeordnet: Patrick (3), Peter (2), Paul (1). Um die Ordnung zu kontrolliert stellt man Linda nun vor die Wahl zwischen jeweils 2 Männer: Bei Patrick und Peter wählt sie erwartungsgemäß Patrick. Jedoch bei Patrick und Paul wählt sie überraschend Paul. Damit verletzt sie die Annahme der Transitivität, welcher eine Ordinalskala unterliegt: wenn A>B und B>C, dann A>C. Dies deutet darauf hin, dass das Merkmal „Mögbar“ nicht auf einer Skala abbildbar ist sondern mehrdimensional sein könnte.
2) Eindeutigkeitsproblem
Das Eindeutigkeitsproblem stellt die Überlegung an, wie man die Zahlen im numerischen Relativ verändern (transformieren) kann, ohne dass die Strukturerhaltung gefährdet ist.
Beispiel: Nach einem Tennisturnier werden den Spielern Rangplätze für ihre Spielleistung vergeben. Lisa war die beste Spielerin und erhält deswegen den Rangplatz 1. Marie war die zweitbeste Spielerin und erhält Rangplatz 2. Paula erhält Rangplatz 3. Bei der zu erhaltenen Struktur handelt es sich hier also um eine Rangreihenfolge. Nun könnte man verschiedene Transformationen mit den Zahlen durchführen. Zum Beispiel, könnte man jede Zahl mal 100 nehmen. So würde Lisa die Zahl 100 erhalten, Marie die 200 und Paula die 300. An der Rangreihenfolge der Spielerinnen würde sich nichts ändern. Wenn man für jeden Rangplatz die Transformation 1/x vornehmen würde, entstünde für Lisa die Zahl 1, für Marie 0,5 und für Paula die Zahl 0,33.. Nun ist die Rangreihenfolge – und damit die Struktur - verändert, denn Paula hätte nun den kleinsten (interpretiert als "besten") Wert und das würde fälschlicherweise zu dem Schluss führen, dass sie die beste Spielerin sei. Die Transformation 1/x ist auf Ordinalniveau daher unzulässig.
3) Bedeutsamkeitsproblem
Die Problematik der Bedeutsamkeit hängt mit dem Eindeutigkeitsproblem zusammen und beinhaltet die Frage, welche Transformationen mit den erhobenen Messungen sinnvoll sind.
Beispiel: Nach dem Tennisturnier werden die Spielerinnen Lisa, Marie und Paula auf ihre Leistungen hin verglichen. Wie im obigen Beispiel erhält Lisa für die beste Leistung die Zahl 1, Marie die 2 und Paula die 3. Je nach Forschungsfrage könnte den Forscher auch lediglich interessieren, ob Lisa und Marie "gleich starke" oder "unterschiedlich starke" Spielerinnen sind. In diesem Fall wäre die Transformation 1/x zulässig (man entscheidet sich vom Ordinal- auf das Nominalniveau "herunterzugehen") da die Daten nur Rückschlüsse auf Gleichheit oder Ungleichheit zulassen müssen. (Wenn Lisa die Zahl 1 erhält und Marie die 0,5 lässt sich noch immer ihre unterschiedliche Leistung erkennen.) Diese Transformation wäre also zulässig, aber dennoch nicht zwangsläufig sinnvoll/u>, da so Information verloren geht (Rangplätze).