Grundbegriffe Mathematik

Mathematische Basisoperationen & Formeln lesen

Die Grundbausteine mathematischer Formeln sind Variablen und Konstanten. Sie werden durch Operationen in Verbindung gesetzt. Für bestimmte Ausdrücke werden außerdem Notationen genutzt, die Operationen und Beziehungen von mathematischen Elementen kompakt und standardisiert ausdrücken.

Zahlenmengen

[Grafiken folgen noch]

Zahlen können einer oder mehreren Mengen angehören. Die wichtigsten Zahlenmengen sind unten beschrieben. Um die Zugehörigkeit einer Zahl auszudrücken, verwendet man das Element-Zeichen ∈, z.B. 5 ∈ N, sprich „fünf ist Element der natürlichen Zahlen“.

• Natürliche Zahlen: Natürliche Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen. Sie sind ganzzahlig (d.h. sie enthalten keine Brüche oder Dezimalstellen) und positiv und beginnen bei eins. Ihr Formelzeichen ist das ℕ₀.

• Natürliche Zahlen mit Null: Hier wird die Null in die Menge der natürlichen Zahlen eingeschlossen. Ihr Formelzeichen ist das ℕ.

• Ganze Zahlen: Ganze Zahlen sind die Erweiterung der natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen. D.h. sie schließen alle positiven und negativen Zahlen ohne Bruch oder Dezimalstellen und die Null ein. Ihr Formelzeichen ist das ℤ.

• Rationale Zahlen: Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die durch das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden kann, d.h. sie lassen sich als Bruch oder Dezimalzahl schreiben. Ihr Formelzeichen ist ℚ.

• Irrationale Zahlen: Irrationale Zahlen sind die Menge von reellen, nicht-rationalen Zahlen. Sie sind nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellbar und werden als Dezimalzahlen mit einer nicht periodischen und unendlichen Anzahl von Dezimalstellen dargestellt. Beispiele sind π und die Eulersche Zahl. Das Formelzeichen der Irrationalen Zahlen ist ℝ\ℚ.

• Reelle Zahlen: Die reellen Zahlen sind die Erweiterung der rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen. Ihr Formelzeichen ist ℝ.

• Imaginäre Zahlen: Imaginäre Zahlen sind diejenigen komplexen Zahlen, deren Quadrate nicht positive reelle Zahlen sind. D.h. wenn aus einer nicht positiven reellen Zahl eine Wurzel gezogen wird, kommt dabei eine imaginäre Zahl heraus. Geschrieben werden diese Zahlen als Produkt der imaginären Einheit i mit einem reellen Faktor b. Dabei gilt i = √ -1 .

• Komplexe Zahlen: Mit der Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen wechselt man von der Zahlengeraden zur Zahlenebene (s. Fig. 2). Komplexe Zahlen werden als Summe a+b∙i geschrieben, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit. In dieser Schreibweise gibt a den Wert des reellen Anteils der Zahl und b den Wert des imaginären Anteils der Zahl an. Man kann sie als Koordinaten auf der Zahlenebene verstehen. Das Formelzeichen der komplexen Zahlen ist ℂ.

Notationen (Auswahl)

Vergleichsoperatoren

• Gleichheit: Beschreibt, dass zwei Ausdrücke in ihrem Wert gleich sind und wird durch das Zeichen = repräsentiert, das zwischen den gleichen Ausdrücken steht

• Ungleichheit: Beschreibt, dass zwei Ausdrücke in ihrem Wert ungleich sind und wird durch das Zeichen ≠ repräsentiert, das zwischen den ungleichen Ausdrücken steht

• Größer und kleiner als: Beschreiben, dass der Ausdruck links des Zeichens > größer (< kleiner) ist als der rechts des Zeichens

• Größer und kleiner gleich: Beschreiben, dass der Ausdruck links des Zeichens ≥ größer (≥ kleiner) oder gleich dem rechten Ausdruck ist

Rechenoperatoren

• Addition: Zählt einen Summanden zum anderen hinzu. Das Ergebnis ist die Summe. Das Zeichen ist +

• Subtraktion: Zieht den Subtrahenden (rechte Zahl) vom Minuenden (linke Zahl) ab. Das Ergebnis ist die Differenz. Das Zeichen ist -

• Multiplikation: Bedeutet das Vervielfachen des einen Faktors um den Wert des anderen. Das Ergebnis ist das Produkt. Das Zeichen ist · oder manchmal ×

• Division: Teilt den Zähler bzw. Dividend (obere/linke Zahl) durch den Nenner bzw. Divisor (untere/rechte Zahl). Das Ergebnis ist der Quotient. Das Zeichen ist ÷ oder als Bruchschreibweise z.B. ¼

• Modulo: Modulo berechnet den Rest bei einer Division der Zahl a durch die Zahl b. Häufiger beim Programmieren genutzt. Die Schreibweise ist mod(a,b), z.B. mod(2,5) = 1

• Summe: Steht für die Summe mehrerer Ausdrücke. Häufig genutzt, um Summen von Termen mit Variablen abzukürzen. Das Zeichen ist ∑
  • Beispiel: $\sum _{i=1}^{3}5x_{i}=5x_{1}+5x_{2}+5x_{3}$

• Produkt: Steht für das Produkt mehrerer Ausdrücke. Häufig genutzt, um Produkte von Termen mit Variablen abzukürzen. Das Zeichen ist ∏
  • Beispiel: $\prod _{i=1}^{3}5x_{i}=5x_{1}\cdot 5x_{2}\cdot 5x_{3}$

• Potenzieren: Die Basis wird wiederholt multipliziert, die Schreibweise ist a^b. Wie oft dabei die Basis (a) als Faktor steht, wird durch den Exponenten (b) bestimmt. Z.B. 5³ = 5 · 5 · 5

• Logarithmus: Der Logarithmus, geschrieben b = log_ac, gibt den Exponenten (b) an, mit dem man eine Basis (a) potenzieren muss, um den Numerus (c) zu erhalten. Z.B. 3 = log₅125

• Wurzel: Das Wurzelziehen (auch Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens und ermittelt die Basis a aus einer mit b potenzierten Zahl c, in der Form $a={\sqrt[{b}]{c}}$, wie zum Beispiel $5={\sqrt[{3}]{125}}$. Bei einer Quadratwurzel (b = 2), wird der Exponent häufig freigelassen, z.B. $5={\sqrt {25}}$.

• Fakultät: Die Fakultät einer Zahl ist das Produkt aller positiven natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich dieser Zahl sind
  • Beispiel: 5!= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
  • ein Spezialfall ist 0! = 1

• Binomialkoeffizient: Der Binomialkoeffizient ‎${\binom {N}{k}}$ (gesprochen „n über k“) gibt an wie viele Kombinationen einer Anzahl von k Objekten aus einer Menge von n voneinander unterscheidbaren Objekten gezogen werden kann, ohne die Reihenfolge zu beachten und ohne Zurücklegen.

• Betrag: Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zu null. Auch: Absolutwert oder Absolutbetrag. Geschrieben wird er als |x|, z.B. |-5.54| = 5.54

• Ableitung

• Integral

Logik und logische Operatoren

Grundbegriffe

Proposition

Verbindung

Wahrheitstabelle

Gültigkeit & Korrektheit

Schlussregeln

Quantor/Quantifikator

Operatoren

• And

• Or

• Not

• XOr

• Implikation

• Bikonditional